Какова площадь боковой и общей поверхностей пирамиды с правильным четырехугольным основанием со стороной 3 см и высотой

Для решения этой задачи, сначала найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Боковая поверхность пирамиды рассчитывается по формуле:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{высота боковой грани}\]

Для четырехугольной пирамиды с основанием в форме квадрата, периметр основания равен:

\[ \text{Периметр квадрата} = 4 \times \text{сторона} \]

\[ \text{Периметр квадрата} = 4 \times 3 \text{ см} = 12 \text{ см} \]

Теперь вычислим боковую поверхность:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times 12 \text{ см} \times \text{высота боковой грани} \]

Мы знаем, что сторона квадрата (основание пирамиды) равна 3 см, что же такое высота боковой грани?

Высота боковой грани - это высота с общей вершины пирамиды до основания вдоль боковой стороны. Здесь есть теорема Пифагора:

\[ \text{Высота боковой грани} = \sqrt{ (\text{Высота пирамиды})^2 - (\frac{\text{Сторона основания}}{2})^2} \]

Так как задача предполагает, что пирамида правильная, то высота боковой грани совпадает с высотой пирамиды. Поэтому заменим в формуле \( \text{Высота боковой грани} = \text{Высота пирамиды}\) и подставим значения:

\[ \text{Высота боковой грани} = \sqrt{ (\text{Высота пирамиды})^2 - (\frac{\text{Сторона основания}}{2})^2}\]

\[ \text{Высота боковой грани} = \sqrt{ 3^2 - (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{9 - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}\]

Теперь можем рассчитать боковую площадь:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times 12 \text{ см} \times \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см} = 18 \sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Теперь найдем общую площадь поверхности пирамиды. Общая площадь поверхности пирамиды складывается из площади боковой поверхности и площади основания. Для правильной пирамиды с четырехугольным основанием (квадратом), площадь основания будет равна площади квадрата со стороной 3 см:

\[ S_{\text{осн}} = (\text{Сторона основания})^2 = 3^2 = 9 \text{ см}^2\]

Теперь найдем общую площадь поверхности пирамиды:

\[ S_{\text{общ}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 18\sqrt{3} \text{ см}^2 + 9 \text{ см}^2 = 18\sqrt{3} + 9 \text{ см}^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна \(18\sqrt{3} \text{ см}^2\), а общая площадь поверхности пирамиды составляет \(18\sqrt{3} + 9 \text{ см}^2\).