Какова общая сумма всех натуральных чисел, которые меньше или равны 160 и имеют остаток при делении

Задача звучит следующим образом: "Какова общая сумма всех натуральных чисел, которые меньше или равны 160 и имеют остаток при делении на 3 равный 2?". Для решения данной задачи, нужно найти все натуральные числа, которые удовлетворяют условию (имеют остаток при делении на 3 равный 2), а затем найти их общую сумму.

Давайте начнем:

1. Найдем все натуральные числа, которые меньше или равны 160 и имеют остаток при делении на 3 равный 2. Для этого, мы можем составить последовательность чисел, начиная с 2 и последовательно прибавлять 3, пока число не превысит 160. Таким образом, получим такую последовательность: 2, 5, 8, 11, 14, ... и так далее.

2. Теперь, чтобы найти общую сумму всех этих чисел, мы будем использовать формулу суммы арифметической прогрессии. Формула выглядит следующим образом:

\[S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

где \(S\) - общая сумма прогрессии, \(n\) - количество членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - последний член прогрессии.

3. В данном случае, наше количество членов прогрессии равно \(n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1\), где \(d = 3\) - это разность прогрессии.

4. Найдем последний член \(a_n\) прогрессии. Мы знаем, что последний член должен быть меньше или равен 160. В данном случае, мы видим, что последнее число 158 (11+14 это 25, и если бы использовали 161 то отличия от 160 были бы большие)

5. Найдем количество членов прогрессии:

\[n = \frac{158 - 2}{3} + 1 = 52\]

6. Теперь мы можем найти общую сумму \(S\) прогрессии, использовав формулу:

\[S = \frac{52}{2} \cdot (2 + 158)\]

\[S = 26 \cdot 160\]

\[S = 4160\]

Таким образом, общая сумма всех натуральных чисел, которые меньше или равны 160 и имеют остаток при делении на 3 равный 2, составляет 4160.