Какова область значений функции f(x)=x+2/x^2+x-20?

Хорошо, давайте разберёмся вместе с задачей. У нас дана функция \(f(x) = \frac{x + 2}{x^2 + x - 20}\). Чтобы найти область значений этой функции, нам нужно определить все возможные значения, которые она может принимать.

Вначале рассмотрим знаменатель функции \(x^2 + x - 20\). Чтобы узнать, когда этот знаменатель равен нулю, решим уравнение: \(x^2 + x - 20 = 0\).

Мы можем факторизовать это уравнение:

\((x + 5)(x - 4) = 0\).

Таким образом, получаем два значения \(x\): -5 и 4, при которых знаменатель обращается в нуль.

Теперь посмотрим на числитель \(x + 2\). Этот член не имеет ограничений на \(x\) и может принимать любые значения.

Теперь обратимся к замечательной особенности дробей: фракция может быть равна нулю только в том случае, если числитель равен нулю, и при этом знаменатель не равен нулю. В нашем случае знаменатель не равен нулю при любом \(x\), кроме -5 и 4, поэтому мы можем установить условие \(x + 2 = 0\) и найти единственное значение \(x = -2\), при котором функция обращается в нуль.

Таким образом, у нас есть две точки, -5 и 4, в которых знаменатель обращается в нуль, и одна точка, -2, в которой числитель обращается в нуль. Эти точки определяют ограничения на \(x\) и определяют область значений функции.

Итак, область значений функции \(f(x)\) будет всеми значениями, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. То есть область значений функции \(f(x)\) будет набором всех действительных чисел, кроме -5, 4 и -2.

Мы можем записать это в математической нотации:

\[
D_f = \mathbb{R} - \{-5, 4, -2\}
\]

где \(\mathbb{R}\) обозначает множество всех действительных чисел.

Надеюсь, это помогло вам понять область значений функции \(f(x)\). Если у вас есть ещё какие-то вопросы, не стесняйтесь задавать!