Какова неопределенность энергии электрона в атоме диаметром 0,3 нм, выраженная в электрон-вольтах?

Чтобы рассчитать неопределенность энергии электрона в атоме, воспользуемся соотношением неопределенности Гейзенберга. Согласно этому принципу, неопределенность энергии (\(\Delta E\)) и времени (\(\Delta t\)) связаны соотношением:

\(\Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}\),

где \(\hbar\) - это постоянная Планка, которая равна \(1.05 \times 10^{-34}\) Дж·с.

В задаче нам дана неопределенность в пространстве (\(\Delta x\)), а не времени. Однако, мы можем использовать соотношение неопределенностей Гейзенберга, которое устанавливает, что произведение неопределенностей энергии и времени равно произведению неопределенностей координаты и импульса. Таким образом, мы можем записать:

\(\Delta E \cdot \Delta t = \Delta x \cdot \Delta p\).

Поскольку нам дан диаметр атома (\(d = 0.3\) нм), мы можем выразить \(\Delta x\) следующим образом:

\(\Delta x = d = 0.3 \times 10^{-9}\) м.

Теперь нам нужно найти неопределенность импульса (\(\Delta p\)). Она может быть выражена через массу электрона (\(m_e\)) и скорость (\(v\)) следующим образом:

\(\Delta p = m_e \cdot \Delta v\).

Так как у нас нет информации о скорости электрона, мы предполагаем, что его скорость сопоставима с средней скоростью электрона на орбите атома водорода, где масса электрона (\(m_e\)) равна \(9.31 \times 10^{-31}\) кг, а радиус орбиты (\(r\)) равен половине диаметра атома (\(d/2\)).

Скорость электрона (\(v\)) можно рассчитать по формуле:

\(v = \frac{{2\pi r}}{{T}}\),

где \(T\) - период обращения электрона по орбите. Воспользуемся формулой для расчета периода обращения электрона в атоме водорода:

\(T = \frac{{2\pi r}}{{v_r}}\),

где \(v_r\) - радиальная скорость электрона.

Радиальная скорость можно записать как:

\(v_r = \frac{{k \cdot e^2}}{{2 \cdot m_e \cdot r}}\),

где \(k\) - постоянная Кулона, равная \(8.99 \times 10^9\) Н·м\(^2\)/Кл\(^2\), а \(e\) - заряд электрона, равный \(1.6 \times 10^{-19}\) Кл.

После подстановки формул и упрощений, мы получаем следующий результат для скорости:

\(v = \frac{{2\pi \cdot \frac{{d}}{{2}}}}{{\frac{{2\pi \cdot k \cdot e^2}}{{2 \cdot m_e \cdot d/2}}}}\).

Раскрывая скобки и сокращая, получаем:

\(v = \frac{{m_e \cdot e^2}}{{2 \cdot k \cdot d}}\).

Теперь мы можем рассчитать неопределенность импульса (\(\Delta p\)):

\(\Delta p = m_e \cdot \Delta v = m_e \cdot \left|v - \frac{{m_e \cdot e^2}}{{2 \cdot k \cdot d}}\right|\).

С учетом заданных значений и подстановки, получаем:

\(\Delta p = 9.31 \times 10^{-31} \cdot \left|\frac{{9.31 \times 10^{-31} \cdot (1.6 \times 10^{-19})^2}}{{2 \cdot (8.99 \times 10^9) \cdot (0.3 \times 10^{-9})}} - \frac{{9.31 \times 10^{-31} \cdot (1.6 \times 10^{-19})^2}}{{2 \cdot (8.99 \times 10^9) \cdot (0.3 \times 10^{-9})}}\right|\).

После выполнения всех расчетов, неопределенность импульса будет равна числу, выраженному в килограммах и метрах в секунду. Однако, чтобы выразить эту величину в более удобной единице измерения, а именно в электрон-вольтах, необходимо разделить результат на скорость света в вакууме (\(c = 3 \times 10^8\) м/с), так как импульс равен энергии, разделенной на скорость. Поэтому, итоговая неопределенность энергии будет равна:

\(\Delta E = \frac{{\Delta p}}{{c}}\).

Вычислив данное выражение, получим искомое значение неопределенности энергии электрона в атоме диаметром 0,3 нм в электрон-вольтах.