Какова минимальная величина коэффициента трения между полой сферой и наклонной плоскостью, чтобы сфера скатывалась

Чтобы найти минимальное значение коэффициента трения между полой сферой и наклонной плоскостью, при котором сфера будет скатываться без проскальзывания, мы можем воспользоваться условием равновесия моментов сил.

При движении сферы без проскальзывания на наклонной плоскости, две силы будут действовать на сферу: сила тяжести и сила трения. Сила трения будет препятствовать проскальзыванию сферы вдоль плоскости.

Первым шагом нужно найти силу трения. Формула для нахождения силы трения:
\[F_{\text{тр}} = \mu \cdot F_{\text{н}}\],
где \(F_{\text{тр}}\) - сила трения, \(\mu\) - коэффициент трения, \(F_{\text{н}}\) - нормальная сила.

Нормальная сила может быть найдена как произведение силы тяжести \(F_{\text{т}}\) на синус угла наклона плоскости \(\alpha\):
\[F_{\text{н}} = F_{\text{т}} \cdot \sin(\alpha)\].
Здесь \(F_{\text{т}}\) равно массе сферы \(m\) умноженной на ускорение свободного падения \(g\) (\(F_{\text{т}} = m \cdot g\)).

Подставляя найденное значение нормальной силы обратно в формулу для силы трения и заменяя \(F_{\text{н}}\) соответствующим выражением, получаем:
\[F_{\text{тр}} = \mu \cdot F_{\text{н}} = \mu \cdot F_{\text{т}} \cdot \sin(\alpha)\].

Для того чтобы сфера скатывалась без проскальзывания, сила трения должна быть достаточно большой, чтобы уравновесить компонент силы тяжести, направленный вдоль плоскости. То есть:
\[F_{\text{тр}} \geq F_{\text{т}} \cdot \cos(\alpha)\].

Подставляя значение силы трения из предыдущего выражения, получаем:
\[\mu \cdot F_{\text{т}} \cdot \sin(\alpha) \geq F_{\text{т}} \cdot \cos(\alpha)\].

Упрощая уравнение:
\[\mu \geq \tan(\alpha)\].

Таким образом, минимальное значение коэффициента трения \(\mu\) должно быть больше или равно тангенсу угла наклона плоскости \(\alpha\), чтобы сфера скатывалась без проскальзывания.

Чтобы найти ускорение сферы при этом, мы можем использовать выражение для ускорения при равноускоренном прямолинейном движении:
\[a = g \cdot \sin(\alpha) - \mu \cdot g \cdot \cos(\alpha)\].

Подставляя значения \(\alpha\) и \(\mu\), мы можем вычислить ускорение \(a\) сферы.

Обратите внимание, что в данном ответе мы предполагаем, что сфера скатывается без проскальзывания, то есть коэффициент трения достаточно большой для этого. Однако, если коэффициент трения будет равен тангенсу угла наклона плоскости \(\alpha\), сфера будет только начинать скатываться без проскальзывания и ускорение будет равно 0. Чем больше коэффициент трения, тем меньше будет ускорение сферы.