Какова минимальная площадь четырехугольника, который образуется действием прямой, перпендикулярной одной из боковых

Чтобы решить эту задачу, начнем с построения равнобедренного треугольника с заданными сторонами.

1. Нарисуйте прямую CD, перпендикулярную основанию AB треугольника ABC. Пусть точка D будет в середине основания AB (то есть точка D расположена посередине отрезка AB). Это означает, что AD = DB = 6 (половина длины основания).

\[ AB \]

C
/ \
/ \
A/_____\B
6 6

2. Поскольку треугольник ABC - равнобедренный, мы знаем, что боковые стороны AC и BC равны 10.

\[ AC = BC = 10 \]

3. Чтобы построить окружность, вписанную в данный треугольник, мы будем использовать радиус R.

\[ R \]

4. Расстояние от вершины C до центра окружности равно радиусу R. Это расстояние обозначим как h.

\( h \)

5. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ADC (по свойству перпендикулярности), в котором известны гипотенуза AC (равная 10) и катет AD (равный 6). Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти значение катета CD.

6. Применим теорему Пифагора:

\[ AC^2 = AD^2 + CD^2 \]

\[ 10^2 = 6^2 + CD^2 \]

\[ 100 = 36 + CD^2 \]

\[ CD^2 = 100 - 36 = 64 \]

\[ CD = 8 \]

7. Теперь мы знаем, что CD = 8. Поскольку CD равно диаметру окружности (так как перпендикуляр к боковой стороне равнобедренного треугольника проходит через его середину), диаметр окружности также равен 8. Из диаметра окружности мы можем найти радиус R, разделив диаметр пополам.

\[ R = \frac{CD}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

8. Таким образом, радиус окружности, вписанной в данный треугольник ABC, равен 4.

9. Наконец, чтобы найти площадь вписанного четырехугольника, мы помним, что данная фигура вписана в окружность. Мы можем найти ее площадь, умножив квадрат радиуса на число Пи (π).

\[ S = \pi \times R^2 \]

\[ S = \pi \times 4^2 = 16 \pi \]

Таким образом, минимальная площадь четырехугольника, образованного вписанной в окружность прямой, перпендикулярной боковой стороне равнобедренного треугольника с основанием 12 и боковыми сторонами 10, составляет 16π квадратных единиц.