Какова мера угла ZAMD, если в треугольнике ADC на стороне AC, начиная от вершины А, отмечены точки МиР, проведена

Давайте разберемся с задачей. У нас есть треугольник ADC, на стороне AC отмечены точки М и Р, проведена высота DH, которая является биссектрисой треугольника MDP, и также мы знаем, что угол ZADM равен двойному углу CDP.

Для начала давайте обратимся к теореме о биссектрисе треугольника. Она гласит, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении, равном отношению длин двух других сторон.

Таким образом, мы можем сказать, что $\frac{MD}{MP}=\frac{AD}{AP}$ (1).

Теперь вернемся к условию задачи, которое гласит, что угол ZADM равен двойному углу CDP. Используя это, мы можем написать следующее равенство углов:

$2CDP=ZADM$ (2).

Давайте теперь разберемся с треугольником MDP. Мы знаем, что угол MDP равен углу DPМ из-за того, что DH является биссектрисой этого угла. Найдем значение угла DPM.

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, мы можем записать:

$MDP+MPD+DPM={180}^{\circ }$.

Заменяя угол МDP и угол MPD на ZADM и DPM согласно условию (2), мы получаем:

$ZADM+DPM+DPM={180}^{\circ }$.

Теперь давайте найдем значение угла DPM. Заметим, что треугольник DPM является равнобедренным, так как DH является биссектрисой угла MDP. Поэтому углы DPM и DMP равны между собой. Обозначим их как x.

Тогда мы можем записать:

$ZADM+x+x={180}^{\circ }$.

Сокращая данное уравнение, получаем:

$ZADM+2x={180}^{\circ }$ (3).

Теперь мы можем объединить все наши результаты. Используя уравнение (1), мы знаем, что $\frac{MD}{MP}=\frac{AD}{AP}$.

Так как треугольник DMP является равнобедренным, мы также можем записать, что $\frac{DM}{DP}=\frac{DM}{DM}$ или $1=\frac{DM}{DP}$.

Совмещая эти два уравнения, мы получаем:

$\frac{DM}{DP}=\frac{AD}{AP}$ (4).

Теперь, зная уравнения (3) и (4), исключим переменную x. Умножим уравнение (3) на 2 и вычтем его из уравнения (4):

$2\cdot (ZADM+2x)-(ZADM+2x)={360}^{\circ }-{180}^{\circ }$ (5).

Раскрывая скобки, мы получаем:

$2ZADM+4x-ZADM-2x={180}^{\circ }$ (6).

Упрощая выражение, у нас остается:

$ZADM+2x={180}^{\circ }$ (7).

Таким образом, уравнение (7) эквивалентно уравнению (5). Решая его, мы получаем:

$ZADM={180}^{\circ }-{180}^{\circ }+2x-4x$ (8).

Дальше, упрощая, получаем:

$ZADM=-2x$ (9).

Теперь, используя уравнение (9), мы можем подставить значение x из уравнения (5):

$ZADM=-2\cdot x=-2\cdot ({90}^{\circ }-\frac{ZADM}{2})$.

Давайте решим это уравнение:

$ZADM=-{180}^{\circ }+2\cdot ZADM$.

Прибавим ${180}^{\circ }$ к обеим сторонам уравнения:

$ZADM+{180}^{\circ }=2\cdot ZADM$.

Вычтем $ZADM$ из обеих сторон:

${180}^{\circ }=ZADM$.

Таким образом, мы получаем ответ: мера угла ZADM равна ${180}^{\circ }$.