Какова мера угла ∠XYD, если точки X и Y на диагонали AC квадрата ABCD выбраны так, что точка Y лежит на отрезке

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать свойства квадрата и свойства углов.

Итак, давайте начнем с некоторых наблюдений:

- Так как квадрат, то все его углы равны 90°.
- Мы знаем, что угол ∠XBC равен 84°.

Теперь, согласно условию задачи, точки X и Y находятся на диагонали AC квадрата ABCD, причем точка Y лежит на отрезке CX, а XY=YD.

Нам нужно найти меру угла ∠XYD. Для этого обратимся к свойствам квадрата.

Возьмем отрезок AD и продлим его, чтобы он пересекал сторону BC в точке E, как показано на рисунке.

\[
\begin{align*}
\overline{AD} & --- \\
| & ----- \\
| & ----- A \\
| & ----- | \\
\end{align*}
\]

Так как BC — диагональ квадрата, то она делит ее на две равные половины. Следовательно, AC разделяется точкой E на две равные части.

Теперь давайте рассмотрим треугольник XYC. У нас есть две равные стороны: XY=YD (согласно условию задачи) и EC=CE (потому что EC является средней линией в треугольнике ACX).

Таким образом, треугольник XCY является равнобедренным треугольником, а значит, угол ∠YXC равен углу ∠XYC.

\[
\angle YXC = \angle XYC
\]

Теперь давайте рассмотрим треугольник XYD. У нас есть две пары равных углов: ∠XYC = ∠YXC и ∠YXD = ∠XYD (так как XY=YD).

Это означает, что треугольник XYD также является равнобедренным треугольником, и соответствующие основания, XY и YD, против которых соответственно стоят углы ∠XYD и ∠YXD, равны между собой.

Таким образом, угол ∠XDY равен углу ∠XYD.

\[
\angle XDY = \angle XYD
\]

И в конечном итоге, у нас есть следующее равенство:

\[
\angle XDY = \angle XYD = \angle YXC = \angle XYC
\]

Так как углы в треугольнике всегда суммируются до 180°, мы можем найти меру угла ∠XYD, вычтя из суммы углов в треугольнике 180°:

\[
\angle XYD = 180° - 84° - 84° = 12°
\]

Таким образом, мера угла ∠XYD равна 12°.