Какова мера угла М треугольника MNT, если M(1;-1;3), N(3;-1;1), T(-1;1;3)?

Чтобы определить меру угла М треугольника MNT, мы можем воспользоваться формулой для вычисления косинуса угла между двумя векторами. Для этого нам понадобятся координаты векторов \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MT}\).

Для начала найдем координаты векторов:

\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} = (3;-1;1) - (1;-1;3) = (3-1;-1-(-1);1-3) = (2;0;-2)\)

\(\overrightarrow{MT} = \overrightarrow{T} - \overrightarrow{M} = (-1;1;3) - (1;-1;3) = (-1-1;1-(-1);3-3) = (-2;2;0)\)

Теперь, используя эти векторы, мы можем вычислить косинус угла М между ними:

\[
\cos(\angle M) = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MT}}{\|\overrightarrow{MN}\|\|\overrightarrow{MT}\|}
\]

где \(\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MT}\) обозначает скалярное произведение векторов, а \(\|\overrightarrow{MN}\|\) и \(\|\overrightarrow{MT}\|\) обозначают длины этих векторов.

Для нашего примера:
\[
\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MT} = (2;0;-2) \cdot (-2;2;0) = 2(-2) + 0(2) + (-2)0 = -4
\]
\[
\|\overrightarrow{MN}\| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
\[
\|\overrightarrow{MT}\| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]

Теперь, подставляя полученные значения в формулу, мы можем вычислить косинус угла М:

\[
\cos(\angle M) = \frac{-4}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}
\]

Но нас интересует мера угла М (в градусах или радианах), а не косинус этого угла. Чтобы найти меру угла, мы можем воспользоваться обратной функцией косинуса (арккосинус), обозначенной как \(\arccos\).

\[
\angle M = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)
\]

Используя калькулятор, мы находим:

\[
\angle M \approx 120^\circ
\]

Таким образом, мера угла М треугольника MNT равна приблизительно 120 градусов.