Какова масса поршня, если идеальный одноатомный газ в количестве ν = 0,09 моль находится в равновесии в вертикальном

Давайте решим эту задачу!
Итак, нам дано, что идеальный одноатомный газ объемом ν = 0,09 моль находится в равновесии в вертикальном гладком цилиндре под массивным поршнем с площадью S = 25 см². Внешнее атмосферное давление составляет р₀ = 105 Па. При охлаждении газа поршень опустился на высоту Δh = 4 см, а его температура снизилась на ΔТ = 16 К. Мы должны найти массу поршня.

Для решения этой задачи нам понадобится применить закон Архимеда и уравнение состояния идеального газа.

Во-первых, используя закон Архимеда, мы можем выразить разность массовых сил, действующих на поршень:

\(\Delta F = F_{\text{плав}} - F_{\text{атм}}\),

где
\(F_{\text{плав}}\) - массовая сила, возникающая из-за плавучести поршня,
\(F_{\text{атм}}\) - атмосферная массовая сила.

Так как поршень находится в равновесии, разность массовых сил равна нулю:

\(\Delta F = 0\).

Массовую силу можно выразить как произведение массы на ускорение свободного падения:

\(\Delta F = m \cdot g - P_{\text{внешн}} \cdot S\),

где
\(m\) - масса поршня,
\(g\) - ускорение свободного падения,
\(P_{\text{внешн}}\) - внешнее атмосферное давление,
\(S\) - площадь поршня.

Теперь мы можем записать уравнение равновесия:

\(m \cdot g - P_{\text{внешн}} \cdot S = 0\).

С другой стороны, мы можем записать уравнение состояния идеального газа для изменения давления внутри цилиндра:

\(\Delta P = -\rho \cdot g \cdot \Delta h\),

где
\(\Delta P\) - изменение давления газа,
\(\rho\) - плотность газа.

Так как газ является идеальным одноатомным газом, его плотность можно выразить через молярную массу и универсальную газовую постоянную:

\(\rho = \frac{m}{\nu} \cdot R \cdot \frac{T}{P}\),

где
\(m\) - масса газа,
\(\nu\) - количество вещества газа (в данном случае, количество молей),
\(R\) - универсальная газовая постоянная,
\(T\) - температура газа,
\(P\) - давление газа.

Мы также можем записать изменение давления газа через изменение высоты:

\(\Delta P = P_{\text{внутр}} - P_{\text{внешн}}\),

где
\(P_{\text{внутр}}\) - внутреннее давление газа.

Тогда:

\(P_{\text{внутр}} - P_{\text{внешн}} = -\frac{m}{\nu} \cdot R \cdot \frac{T}{P} \cdot g \cdot \Delta h\).

Мы можем заменить \(P_{\text{внутр}}\) на \(P_{\text{внешн}} = P_{\text{внешн}}\), так как поршень находится в равновесии.

Теперь, принимая во внимание уравнение равновесия и уравнение состояния идеального газа, мы получаем:

\(m \cdot g - P_{\text{внешн}} \cdot S = -\frac{m}{\nu} \cdot R \cdot \frac{T}{P} \cdot g \cdot \Delta h\).

Мы можем выразить массу поршня \(m\) из этого уравнения:

\(m = \frac{P_{\text{внешн}} \cdot S \cdot \nu \cdot R \cdot T \cdot \Delta h}{g \cdot (P \cdot \nu - R \cdot T)}\).

Теперь у нас есть все данные, чтобы найти массу поршня. Подставим значения:

\(P_{\text{внешн}} = 105 \, \text{Па}\),
\(S = 25 \, \text{см²} = 0,0025 \, \text{м²}\),
\(\nu = 0,09 \, \text{моль}\),
\(R = 8,31 \, \text{Дж/(моль·К)}\),
\(T = 16 \, \text{К}\),
\(\Delta h = 0,04 \, \text{м}\),
\(g = 9,8 \, \text{м/с²}\),
\(P = ?\).

Подставив значения, получаем:

\(m = \frac{105 \cdot 0,0025 \cdot 0,09 \cdot 8,31 \cdot 16 \cdot 0,04}{9,8 \cdot (P \cdot 0,09 - 8,31 \cdot 16)}\).

Теперь у нас осталось только решить это уравнение, чтобы найти \(m\).