Какова масса однородного сплошного диска диаметром 90 см, если на него приложена постоянная касательная сила 0,1

\(M = 0,05\) Н·м. Дополнительные данные: радиус диска \(r = \frac{90}{2} = 45\) см и плотность материала диска \(\rho = 7,8\) г/см³.

Для решения задачи воспользуемся законами динамики вращательного движения. Согласно второму закону Ньютона для вращательного движения, момент силы равен произведению момента инерции и углового ускорения:

\[M = I \cdot \alpha\]

где \(I\) - момент инерции диска, \(\alpha\) - угловое ускорение.

Момент инерции диска вокруг его оси, проходящей через центр инерции, можно рассчитать по формуле:

\[I = \frac{1}{2} m r^2\]

где \(m\) - масса диска, \(r\) - радиус диска.

Чтобы найти массу диска, необходимо решить систему уравнений, используя полученные выше формулы.

Сначала найдем угловое ускорение \(\alpha\). Для этого воспользуемся формулой связи угловой скорости \(\omega\) и частоты вращения \(n\):

\[\omega = 2\pi n\]

где \(\pi\) - число Пи, \(n\) - частота вращения в оборотах в минуту. По условию задачи, диск увеличивает свою частоту вращения с 180 до 300 оборотов в минуту за 5 секунд, то есть на 120 оборотов в минуту за 5 секунд. Рассчитаем изменение угловой скорости \(\Delta \omega\):

\[\Delta \omega = 2\pi \cdot (300 - 180) = 2\pi \cdot 120 = 240\pi \text{ рад/мин}\]

Чтобы получить угловое ускорение \(\alpha\), необходимо разделить изменение угловой скорости на время:

\[\alpha = \frac{\Delta \omega}{t} = \frac{240\pi}{300} = \frac{4\pi}{5} \text{ рад/сек}^2\]

Теперь подставим полученное значение углового ускорения \(\alpha\) и момент сил трения \(M\) в уравнение \(M = I \cdot \alpha\), чтобы найти момент инерции \(I\):

\[0,05 = \frac{1}{2} m r^2 \cdot \frac{4\pi}{5}\]

Упростим уравнение, учитывая, что \(r\) известно:

\[0,05 = \frac{2\pi}{5} m \cdot 45^2\]

Теперь можем выразить массу диска \(m\):

\[m = \frac{0,05 \cdot 5}{2\pi \cdot 45^2} = \frac{1}{450\pi} \approx 0,0007088\]

Масса диска около 0,0007088 кг или 0,7088 г.