Какова масса каждого из шариков, если они подвешены на двух нитях, закрепленных в одной точке и отклонились

Для того чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать законы равновесия. Давайте начнем с описания ситуации и примем некоторые обозначения.

Пусть $m_1$ и $m_2$ - массы шариков, $T_1$ и $T_2$ - натяжения нитей, $L$ - длина каждой нити, а $\theta$ - угол отклонения нитей от вертикали (в данном случае, 60 градусов).

Воспользуемся диаграммой сил для каждого шарика:


На каждый шарик действует сила упругости нити в направлении к точке подвеса, а также гравитационная сила, направленная вниз. В равновесии эти силы должны быть сбалансированы.

Рассмотрим шарик 1. Гравитационная сила, действующая на него, равна $m_{1}g$, где $g$ - ускорение свободного падения. Так как нить закреплена в одной точке, сила упругости нити направлена по направлению к точке подвеса и равна $T_1$. Компоненты силы упругости по оси $x$ и $y$ равны $T_1\cdot \sin (\theta )$ и $T_1\cdot \cos (\theta )$ соответственно.

Составим равновесие по оси $x$:

$$T_1\cdot \sin (\theta )=0$$

Так как шарик неподвижен по горизонтали, компонента силы упругости по оси $x$ равна нулю.

Составим равновесие по оси $y$:

$$T_1\cdot \cos (\theta )-m_{1}g=0$$

Теперь рассмотрим шарик 2. Гравитационная сила, действующая на него, равна $m_{2}g$. Сила упругости нити направлена по направлению к точке подвеса и равна $T_2$. Компоненты силы упругости по оси $x$ и $y$ равны $T_2\cdot \sin (\theta )$ и $T_2\cdot \cos (\theta )$ соответственно.

Составим равновесие по оси $x$:

$$T_2\cdot \sin (\theta )=0$$

Снова заметим, что шарик неподвижен по горизонтали, поэтому компонента силы упругости по оси $x$ равна нулю.

Составим равновесие по оси $y$:

$$T_2\cdot \cos (\theta )-m_{2}g=0$$

Из каждого из этих уравнений можно выразить натяжение нитей $T_1$ и $T_2$ через массы и гравитационное ускорение:

$$T_1=m_{1}g\cdot \cot (\theta )$$
$$T_2=m_{2}g\cdot \cot (\theta )$$

Эти выражения для натяжений нитей также можно подставить в уравнения равновесия по оси $y$ для каждого шарика:

$$m_{1}g\cdot \cot (\theta )\cdot \cos (\theta )-m_{1}g=0$$
$$m_{2}g\cdot \cot (\theta )\cdot \cos (\theta )-m_{2}g=0$$

Теперь можем решить эти уравнения для масс шариков $m_1$ и $m_2$.

$$m_1\cdot \cot (\theta )\cdot \cos (\theta )-m_1=0$$
$$m_2\cdot \cot (\theta )\cdot \cos (\theta )-m_2=0$$

Разделим каждое уравнение на массу $m_1$ и $m_2$ соответственно:

$$\cot (\theta )\cdot \cos (\theta )-1=0$$
$$\cot (\theta )\cdot \cos (\theta )-1=0$$

Так как $\cot (\theta )$ и $\cos (\theta )$ не равны нулю при $\theta ={60}^{\circ }$, уравнения можно сократить на $\cot (\theta )\cdot \cos (\theta )-1$:

$$m_1=0$$
$$m_2=0$$

Данные уравнения не допускают решений, что означает, что массы шариков $m_1$ и $m_2$ равны нулю в данной ситуации.