Какова масса каждого из шариков, если они подвешены на двух нитях, закрепленных в одной точке и отклонились

Для того чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать законы равновесия. Давайте начнем с описания ситуации и примем некоторые обозначения.

Пусть \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы шариков, \( T_1 \) и \( T_2 \) - натяжения нитей, \( L \) - длина каждой нити, а \( \theta \) - угол отклонения нитей от вертикали (в данном случае, 60 градусов).

Воспользуемся диаграммой сил для каждого шарика:


На каждый шарик действует сила упругости нити в направлении к точке подвеса, а также гравитационная сила, направленная вниз. В равновесии эти силы должны быть сбалансированы.

Рассмотрим шарик 1. Гравитационная сила, действующая на него, равна \( m_1g \), где \( g \) - ускорение свободного падения. Так как нить закреплена в одной точке, сила упругости нити направлена по направлению к точке подвеса и равна \( T_1 \). Компоненты силы упругости по оси \( x \) и \( y \) равны \( T_1 \cdot \sin(\theta) \) и \( T_1 \cdot \cos(\theta) \) соответственно.

Составим равновесие по оси \( x \):

\[ T_1 \cdot \sin(\theta) = 0 \]

Так как шарик неподвижен по горизонтали, компонента силы упругости по оси \( x \) равна нулю.

Составим равновесие по оси \( y \):

\[ T_1 \cdot \cos(\theta) - m_1g = 0 \]

Теперь рассмотрим шарик 2. Гравитационная сила, действующая на него, равна \( m_2g \). Сила упругости нити направлена по направлению к точке подвеса и равна \( T_2 \). Компоненты силы упругости по оси \( x \) и \( y \) равны \( T_2 \cdot \sin(\theta) \) и \( T_2 \cdot \cos(\theta) \) соответственно.

Составим равновесие по оси \( x \):

\[ T_2 \cdot \sin(\theta) = 0 \]

Снова заметим, что шарик неподвижен по горизонтали, поэтому компонента силы упругости по оси \( x \) равна нулю.

Составим равновесие по оси \( y \):

\[ T_2 \cdot \cos(\theta) - m_2g = 0 \]

Из каждого из этих уравнений можно выразить натяжение нитей \( T_1 \) и \( T_2 \) через массы и гравитационное ускорение:

\[ T_1 = m_1g \cdot \cot(\theta) \]
\[ T_2 = m_2g \cdot \cot(\theta) \]

Эти выражения для натяжений нитей также можно подставить в уравнения равновесия по оси \( y \) для каждого шарика:

\[ m_1g \cdot \cot(\theta) \cdot \cos(\theta) - m_1g = 0 \]
\[ m_2g \cdot \cot(\theta) \cdot \cos(\theta) - m_2g = 0 \]

Теперь можем решить эти уравнения для масс шариков \( m_1 \) и \( m_2 \).

\[ m_1 \cdot \cot(\theta) \cdot \cos(\theta) - m_1 = 0 \]
\[ m_2 \cdot \cot(\theta) \cdot \cos(\theta) - m_2 = 0 \]

Разделим каждое уравнение на массу \( m_1 \) и \( m_2 \) соответственно:

\[ \cot(\theta) \cdot \cos(\theta) - 1 = 0 \]
\[ \cot(\theta) \cdot \cos(\theta) - 1 = 0 \]

Так как \( \cot(\theta) \) и \( \cos(\theta) \) не равны нулю при \( \theta = 60^\circ \), уравнения можно сократить на \( \cot(\theta) \cdot \cos(\theta) - 1 \):

\[ m_1 = 0 \]
\[ m_2 = 0 \]

Данные уравнения не допускают решений, что означает, что массы шариков \( m_1 \) и \( m_2 \) равны нулю в данной ситуации.