Какова масса двойной звезды в массах Солнца, если период обращения компонентов составляет 56 лет, а большая полуось

Для решения данной задачи нам потребуется воспользоваться законом всемирного тяготения, который гласит, что сила притяжения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Предположим, что масса Солнца равна \(m_1\) массам Солнца, а масса двойной звезды равна \(m_2\) массам Солнца.

Период обращения компонентов можно выразить через отношение суммы масс к третьей степени большой полуоси орбиты:
\[T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{G(m_1+m_2)}}\],
где \(T\) - период обращения, \(a\) - большая полуось орбиты, \(G\) - гравитационная постоянная.

Теперь мы можем перейти к заданным данным: \(T = 56\) лет, \(a = 3\) дюйма. Прежде чем продолжить, давайте преобразуем единицы измерения:
1 год = 365 дней = 24 часа = 60 минут = 60 секунд
1 дюйм = 2,54 см = 0,0254 метра

Теперь заменим известные значения в формуле:
\[56 = 2\pi \sqrt{\frac{(0{,}0254 \cdot 3)^3}{G(m_1+m_2)}}\]

Чтобы найти отношение \(\frac{m_2}{m_1}\), нам нужно избавиться от неизвестной \(\frac{m_1}{m_2}\) в уравнении. Для этого возведем уравнение в квадрат:
\[56^2 = (2\pi)^2 \frac{(0{,}0254 \cdot 3)^3}{G(m_1+m_2)}\]

Далее, упростим числитель:
\[56^2 \cdot G = (2\pi)^2 \cdot (0{,}0254 \cdot 3)^3 \cdot (m_1+m_2)\]

Обозначим некоторые значения, чтобы упростить выражение:
\[K = 56^2 \cdot G\]
\[L = (2\pi)^2 \cdot (0{,}0254 \cdot 3)^3\]

Теперь у нас есть:
\[K = L \cdot (m_1+m_2)\]

И делим обе части уравнения на \(L\):
\[\frac{K}{L} = m_1+m_2\]

Теперь мы можем выразить \(\frac{m_2}{m_1}\):
\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{\frac{K}{L}-m_1}{m_1}\]

Подставим значения \(K\) и \(L\) и вычислим:
\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{\frac{56^2 \cdot G}{(2\pi)^2 \cdot (0{,}0254 \cdot 3)^3}-m_1}{m_1}\]

Заметим, что мы получим отношение масс компонентов "звезда 2 к звезде 1". Чтобы найти отношение масс в обратную сторону, нам нужно инвертировать это отношение.
Чтобы выразить эту величину в массах Солнца, мы можем поделить её на массу Солнца:
\[\frac{m_2}{m_\odot} = \frac{m_2}{m_1} \cdot \frac{m_1}{m_\odot}\]

Где \(m_\odot\) - масса Солнца. Здесь мы получим ответ в массах Солнца:
\[m_2 = \frac{m_2}{m_1} \cdot m_\odot\]

Для окончательного ответа воспользуемся табличным значением массы Солнца, которое составляет около 1.989 × 10^30 килограмм.

Теперь мы можем вычислить массу двойной звезды в массах Солнца, округлив до десятых:
\[m_2 = \frac{\frac{56^2 \cdot G}{(2\pi)^2 \cdot (0{,}0254 \cdot 3)^3}-m_1}{m_1} \cdot (1.989 \times 10^{30})\]