Какова масса двойной звезды в массах Солнца, если период обращения компонентов составляет 56 лет, а большая полуось

Для решения данной задачи нам потребуется воспользоваться законом всемирного тяготения, который гласит, что сила притяжения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Предположим, что масса Солнца равна $m_1$ массам Солнца, а масса двойной звезды равна $m_2$ массам Солнца.

Период обращения компонентов можно выразить через отношение суммы масс к третьей степени большой полуоси орбиты:
$$T=2\pi \sqrt{\frac{a^3}{G(m_1+m_2)}}$$,
где $T$ - период обращения, $a$ - большая полуось орбиты, $G$ - гравитационная постоянная.

Теперь мы можем перейти к заданным данным: $T=56$ лет, $a=3$ дюйма. Прежде чем продолжить, давайте преобразуем единицы измерения:
1 год = 365 дней = 24 часа = 60 минут = 60 секунд
1 дюйм = 2,54 см = 0,0254 метра

Теперь заменим известные значения в формуле:
$$56=2\pi \sqrt{\frac{(\mathrm{0,025}4\cdot 3{)}^3}{G(m_1+m_2)}}$$

Чтобы найти отношение $\frac{m_2}{m_1}$, нам нужно избавиться от неизвестной $\frac{m_1}{m_2}$ в уравнении. Для этого возведем уравнение в квадрат:
$${56}^2=(2\pi {)}^2\frac{(\mathrm{0,025}4\cdot 3{)}^3}{G(m_1+m_2)}$$

Далее, упростим числитель:
$${56}^2\cdot G=(2\pi {)}^2\cdot (\mathrm{0,025}4\cdot 3{)}^3\cdot (m_1+m_2)$$

Обозначим некоторые значения, чтобы упростить выражение:
$$K={56}^2\cdot G$$
$$L=(2\pi {)}^2\cdot (\mathrm{0,025}4\cdot 3{)}^3$$

Теперь у нас есть:
$$K=L\cdot (m_1+m_2)$$

И делим обе части уравнения на $L$:
$$\frac{K}{L}=m_1+m_2$$

Теперь мы можем выразить $\frac{m_2}{m_1}$:
$$\frac{m_2}{m_1}=\frac{\frac{K}{L}-m_1}{m_1}$$

Подставим значения $K$ и $L$ и вычислим:
$$\frac{m_2}{m_1}=\frac{\frac{{56}^2\cdot G}{(2\pi {)}^2\cdot (\mathrm{0,025}4\cdot 3{)}^3}-m_1}{m_1}$$

Заметим, что мы получим отношение масс компонентов "звезда 2 к звезде 1". Чтобы найти отношение масс в обратную сторону, нам нужно инвертировать это отношение.
Чтобы выразить эту величину в массах Солнца, мы можем поделить её на массу Солнца:
$$\frac{m_2}{m_{\odot }}=\frac{m_2}{m_1}\cdot \frac{m_1}{m_{\odot }}$$

Где $m_{\odot }$ - масса Солнца. Здесь мы получим ответ в массах Солнца:
$$m_2=\frac{m_2}{m_1}\cdot m_{\odot }$$

Для окончательного ответа воспользуемся табличным значением массы Солнца, которое составляет около 1.989 × 10^30 килограмм.

Теперь мы можем вычислить массу двойной звезды в массах Солнца, округлив до десятых:
$$m_2=\frac{\frac{{56}^2\cdot G}{(2\pi {)}^2\cdot (\mathrm{0,025}4\cdot 3{)}^3}-m_1}{m_1}\cdot (1.989\times {10}^{30})$$