Какова масса азота, если при адиабатическом расширении его температура составляла 400 к и его объем увеличился в

Для решения этой задачи используем уравнение универсального газа:

\[PV = mRT\]

где
\(P\) - давление газа,
\(V\) - его объем,
\(m\) - масса газа,
\(R\) - универсальная газовая постоянная,
\(T\) - температура газа.

У нас даны следующие условия:

Температура газа при адиабатическом расширении составила 400 К, что значит, что \(T = 400\) К.

Объем газа возрос в 5 раз, поэтому новый объем равен \((5 \cdot V)\).

Внутренняя энергия газа уменьшилась на 4 кДж, что означает, что газ совершил работу над окружающей средой. Это произошло в результате адиабатического расширения, когда внутренняя энергия газа превращается в механическую работу над окружающей средой. Поэтому мы можем сказать, что увеличение внутренней энергии газа (эта величина будет отрицательная из-за уменьшения) равно работе, которую совершил газ. Обозначим эту величину как \(W\).

Теперь, используя уравнение адиабатического процесса \(PV^{\gamma} = const\), где \(\gamma\) - показатель адиабаты, который для идеального моноатомного газа (такого как азот) равен 5/3, мы можем выразить давление перед и после процесса:

\[P_1V_1^{\gamma} = P_2V_2^{\gamma}\]

где индексы 1 и 2 соответствуют исходным и конечным состояниям газа соответственно. Мы умножаем объем на саму себя, возведенное в степень \(\gamma\).

Так как у нас задана адиабатическая экспансия газа без теплообмена с окружающей средой, то давление и температура связаны следующим образом:

\[\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{(\gamma - 1)}\]

где индексы 1 и 2 соответствуют исходным и конечным состояниям газа соответственно.

Теперь, когда у нас есть все необходимые формулы, давайте перейдем к решению:

1. Разделим уравнение универсального газа на \(RT\), чтобы выразить массу газа:

\[PV = mRT \Rightarrow m = \frac{PV}{RT}\]

2. Подставим известные значения:

\[m = \frac{(P_2V_2)}{RT_2}\]

3. Теперь найдем новое давление газа \(P_2\) с помощью уравнения адиабатического процесса:

\[\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{(\gamma - 1)}\]

\[\frac{400}{T_1} = \left(\frac{1}{5}\right)^{(\gamma - 1)}\]

4. Подставим значение показателя адиабаты для идеального одноатомного газа \(\gamma = \frac{5}{3}\):

\[\frac{400}{T_1} = \left(\frac{1}{5}\right)^{\left(\frac{5}{3} - 1\right)}\]

\[\frac{400}{T_1} = \left(\frac{1}{5}\right)^{\left(\frac{2}{3}\right)}\]

5. Решим полученное уравнение для \(T_1\):

\[T_1 = \frac{400}{\left(\frac{1}{5}\right)^{\left(\frac{2}{3}\right)}}\]

6. Теперь найдем значение \(P_2\):

\[P_2 = \frac{P_1V_1^{\gamma}}{V_2^{\gamma}}\]

7. Подставим известные значения и полученное значение \(T_1\):

\[P_2 = \frac{P_1V_1^{\gamma}}{(5V_1)^{\gamma}}\]

8. Подставим известные значения \(P_1 = 1\) атмосфера и \(V_1 = V\) (объем до адиабатического расширения):

\[P_2 = \frac{(1 \cdot V^{\frac{5}{3}})}{(5V)^{\frac{5}{3}}}\]

\[P_2 = \frac{V^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} \cdot V^{\frac{5}{3}}}\]

9. Упростим выражение и подставим значения:

\[P_2 = \frac{1}{5^{\frac{5}{3}}}\]

10. Теперь, имея значения \(T_1\), \(P_2\) и \(V_2 = 5V\), мы можем найти массу газа:

\[m = \frac{(P_2V_2)}{RT_2}\]

Подставим значения:

\[m = \frac{\left(\frac{1}{5^{\frac{5}{3}}}\right) \cdot (5V)}{R \cdot \left(\frac{400}{\left(\frac{1}{5}\right)^{\left(\frac{2}{3}\right)}}\right)}\]

11. Упростим выражение:

\[m = \frac{(5^{\frac{2}{3}} \cdot 5V)}{R \cdot 400 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{\left(\frac{2}{3}\right)}}\]

12. Используем значение универсальной газовой постоянной \(R = 8,314\) Дж/(моль·К) и подставим в полученное выражение:

\[m = \frac{(5^{\frac{2}{3}} \cdot 5V)}{(8,314 \cdot 400 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{\left(\frac{2}{3}\right)}}\]

Таким образом, масса азота при заданных условиях равна полученному выражению. Остается только численно посчитать значение этого выражения для конкретных числовых данных.