Какова максимально возможная длина ломаной A_0A_2A_5A_7A, составленной из звеньев целых чисел, в семизвенной ломаной

Для решения этой задачи нам потребуется представить себе семизвенную ломаную и проанализировать ее свойства. Также мы будем использовать метод математической индукции.

Мы уже имеем семизвенную ломаную длиной 25, обозначенную как A_0A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A. Нам нужно найти максимально возможную длину ломаной A_0A_2A_5A_7A, составленной из звеньев целых чисел, где никакие три вершины не лежат на одной прямой.

Предположим, что ломаная A_0A_2A_5A_7A имеет максимальную длину. Если мы удалите вершину A_7A из этой ломаной, то получим ломаную A_0A_2A_5A. Эта ломаная будет иметь длину на 1 единицу меньше, чем исходная ломаная A_0A_2A_5A_7A.

Теперь рассмотрим ломаную A_0A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A. Если мы заменим вершину A_1A на вершину A_0A, то получим ломаную A_0A_0A_2A_3A_4A_5A_6A_7A. Эта ломаная будет иметь длину на 1 единицу больше, чем исходная ломаная A_0A_1A_2A_3A_4A_5A_6A.

Используя эти две замены, мы можем увеличить длину ломаной на 1 единицу за одну операцию. Давайте применим эту операцию 18 раз (поскольку длина исходной ломаной 25, а мы хотим получить длину 19) и получим ломаную A_0A_19A_20A_21A_22A_23A_24A_25A.

Теперь рассмотрим последовательность звеньев: A_0A_19A_20A_21A_22A_23A_24A_25A. Заметим, что если у нас есть ломаная с длинной 19 и максимальной длиной A_0A_19A_20A_21A_22A_23A_24A_25A, то мы можем добавить две новых вершины A_2A и A_5A, чтобы получить ломаную A_0A_2A_5A_19A_20A_21A_22A_23A_24A_25A длиной 21.

И продолжим этот процесс, а именно добавим вершины A_7A, A_9A, A_12A, A_14A, A_17A, чтобы получить ломаную A_0A_2A_5A_7A_9A_12A_14A_19A_20A_21A_22A_23A_24A_25A длиной 25.

Из этого мы можем заключить, что максимально возможная длина ломаной A_0A_2A_5A_7A составляет 25.

Таким образом, найденная максимально возможная длина ломаной составляет 25.