Какова максимальная скорость движения тела, определенная уравнением s=-t^3+3t^2+9t+3, где s - путь, t - время?

Для определения максимальной скорости движения тела, определяемой уравнением \(s = -t^3 + 3t^2 + 9t + 3\), мы можем использовать производную этого уравнения по времени \(t\). Производная позволит нам найти мгновенную скорость, а чтобы найти максимальную скорость, нам нужно найти точку экстремума.

Давайте найдем производную от уравнения \(s\) по \(t\) и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку экстремума:

\[\frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{d(-t^3 + 3t^2 + 9t + 3)}}{{dt}}\]

Производная этого уравнения будет:

\[\frac{{ds}}{{dt}} = -3t^2 + 6t + 9\]

Теперь приравняем эту производную к нулю и решим полученное уравнение для \(t\):

\[-3t^2 + 6t + 9 = 0\]

Мы можем разделить это уравнение на -3, чтобы упростить его:

\[t^2 - 2t - 3 = 0\]

Попробуем решить это уравнение, используя факторизацию:

\[(t - 3)(t + 1) = 0\]

Это даёт нам две возможные точки экстремума: \(t = 3\) и \(t = -1\).

Теперь у нас есть две точки, и мы должны определить, какая из них является максимальной. Для этого мы должны вычислить вторую производную и проверить ее значение в каждой точке.

Найдем вторую производную от уравнения \(s\) по \(t\):

\[\frac{{d^2s}}{{dt^2}} = \frac{{d(-3t^2 + 6t + 9)}}{{dt}}\]

Вторая производная будет:

\[\frac{{d^2s}}{{dt^2}} = -6t + 6\]

Теперь подставим найденные точки \(t = 3\) и \(t = -1\) в уравнение второй производной:

\[\frac{{d^2s}}{{dt^2}}\bigg|_{t=3} = -6(3) + 6 = -12 < 0\]
\[\frac{{d^2s}}{{dt^2}}\bigg|_{t=-1} = -6(-1) + 6 = 12 > 0\]

Из этих результатов видно, что вторая производная \(s\) имеет отрицательное значение при \(t = 3\), а положительное значение при \(t = -1\). Это значит, что точка \(t = 3\) является точкой максимума, а \(t = -1\) - точкой минимума.

Таким образом, максимальная скорость движения тела, определенная уравнением \(s = -t^3 + 3t^2 + 9t + 3\), достигается при \(t = 3\). Чтобы найти эту скорость, мы можем подставить \(t = 3\) в уравнение \(s\):

\[s = -(3)^3 + 3(3)^2 + 9(3) + 3\]

Решая это уравнение, получим значение \(s\), которое будет являться максимальной скоростью.

Надеюсь, это решение было понятным для вас. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!