Какова максимальная скорость агрегата при движении сборочного конвейера, оптимизирующего производственный процесс?

Для оптимизации производственного процесса на сборочном конвейере нам необходимо определить максимальную скорость агрегата при его движении. Для этого рассмотрим заданную зависимость координаты \(x\) и скорости \(v\) агрегата от времени \(t\):

\[x = at - b \cdot \sin(\omega t)\]

где \(a = 0.5 \, \text{м/с}\) и \(b = 0.25 \, \text{м}\).

Для нахождения максимальной скорости, нам нужно сначала определить закон движения агрегата и затем найти момент времени, при котором скорость достигает своего максимального значения.

Для начала, определим закон движения агрегата, взяв первую производную от уравнения \(x\) по времени:

\[v = \frac{dx}{dt} = a - b \cdot \omega \cdot \cos(\omega t)\]

Теперь, найдем значения времени \(t\), при которых скорость \(v\) будет равной нулю (т.е. агрегат изменяет направление движения). Для этого приравняем выражение для скорости к нулю и решим полученное уравнение относительно \(t\):

\[a - b \cdot \omega \cdot \cos(\omega t) = 0\]

\[\cos(\omega t) = \frac{a}{b \cdot \omega}\]

Отсюда, найдем значения \(t\), для которых выполняется условие выше:

\[\omega t = \arccos\left(\frac{a}{b \cdot \omega}\right)\]

\[t = \frac{\arccos\left(\frac{a}{b \cdot \omega}\right)}{\omega}\]

Теперь, чтобы найти максимальную скорость, нужно найти максимальное значение модуля скорости агрегата, используя выражение для \(v\). Для этого возьмем абсолютное значение скорости и подставим в него найденные значения \(t\):

\[v_{\text{макс}} = \max\left(|v|\right) = \max\left(\left|a - b \cdot \omega \cdot \cos(\omega t)\right|\right)\]

Теперь мы можем построить графики, отображающие зависимость координаты \(x\) и скорости \(v\) агрегата от времени \(t\), используя найденные формулы и заданные параметры \(a = 0.5 \, \text{м/с}\), \(b = 0.25 \, \text{м}\).

\[x = 0.5t - 0.25\sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right)\]

\[\text{где } T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi \, \text{сек}\]

\[v = 0.5 - 0.25 \cdot 0.5 \cdot \cos\left(0.5t\right)\]

Давайте построим эти графики.