Какова максимальная полезная мощность двигателя автомобиля массой 2 т, который разгоняется на прямой из состояния покоя

Чтобы найти максимальную полезную мощность двигателя автомобиля, мы должны рассмотреть процесс разгона и торможения автомобиля.

Данная задача связана с изменением скорости автомобиля. Давайте рассмотрим каждую часть задачи по отдельности.

1. Разгон автомобиля:
Для нахождения максимальной полезной мощности двигателя во время разгона, мы должны использовать уравнение изменения скорости, заданное функцией \(\upsilon(t) = 0.125(20t - t^2)\), где \(\upsilon(t)\) - скорость автомобиля в метрах в секунду, а \(t\) - время в секундах.

Для нахождения мощности двигателя в процессе разгона, мы можем использовать следующую формулу:
\[P(t) = F \cdot \upsilon(t)\]
где \(P(t)\) - полезная мощность двигателя, \(F\) - сила, применяемая к автомобилю.

Учитывая, что масса автомобиля \(m = 2\) тонны, а ускорение равно \(a = \frac{d \upsilon}{dt} = \frac{d(0.125(20t - t^2))}{dt}\), вычисленное производное, мы можем найти силу \(F\) с использованием второго закона Ньютона \(F = m \cdot a\).

Теперь, получив уравнение для силы \(F\), мы можем заменить его в формулу \(P(t)\):
\[P(t) = m \cdot a \cdot \upsilon(t)\]

2. Торможение автомобиля:
Во время торможения автомобиля, сила торможения будет равна силе разгона, но с противоположным знаком. Таким образом, максимальная полезная мощность двигателя во время торможения будет равна:
\[P(t) = -m \cdot a \cdot \upsilon(t)\]

Теперь у нас есть уравнения для максимальной полезной мощности двигателя как во время разгона, так и во время торможения.

Чтобы найти максимальную полезную мощность двигателя, воспользуемся следующим подходом:
1. Найдем максимальное значение функции \(\upsilon(t)\) путем нахождения ее максимума;
2. Подставим значения \(t\) и \(\upsilon(t)\) в уравнения для мощности двигателя, чтобы получить максимальную полезную мощность как во время разгона, так и во время торможения.

Производная функции скорости \(\upsilon(t)\) равна:
\[\frac{d \upsilon}{dt} = 0.125(20 - 2t)\]

Чтобы найти максимум, приравняем производную к нулю:
\[0.125(20 - 2t) = 0\]

Решая это уравнение, получаем:
\[20 - 2t = 0\]
\[2t = 20\]
\[t = 10\]

Таким образом, максимальная скорость автомобиля достигается при \(t = 10\) секундах.

Теперь подставим \(t = 10\) в \(\upsilon(t)\), чтобы получить максимальную скорость:
\[\upsilon(10) = 0.125(20 \cdot 10 - 10^2) = 0.125(200 - 100) = 0.125 \cdot 100 = 12.5\] м/с

Теперь найдем максимальную полезную мощность двигателя во время разгона:
\[P(t) = m \cdot a \cdot \upsilon(t)\]
\[P(10) = (2 \cdot 1000) \cdot (0.125(20 \cdot 10 - 10^2)) = 2000 \cdot 12.5 = 25000\] Вт

Аналогичным образом, найдем максимальную полезную мощность двигателя во время торможения:
\[P(t) = -m \cdot a \cdot \upsilon(t)\]
\[P(10) = -(2 \cdot 1000) \cdot (0.125(20 \cdot 10 - 10^2)) = -2000 \cdot 12.5 = -25000\] Вт

Таким образом, максимальная полезная мощность двигателя автомобиля массой 2 тонны, который разгоняется на прямой из состояния покоя и затем тормозит до остановки, пренебрегая трением качения и сопротивлением воздуха, составляет 25000 Вт (во время разгона) и -25000 Вт (во время торможения).