Какова максимальная энергия магнитного поля в колебательном контуре при изменении заряда конденсатора по закону

Для решения этой задачи мы должны знать формулу для энергии магнитного поля в колебательном контуре. Она определяется следующим образом:

\[E = \frac{1}{2}LI^2\]

где \(E\) - энергия магнитного поля, \(L\) - индуктивность контура, а \(I\) - сила тока.

Для начала, нам понадобится выразить ток в колебательном контуре. Для этого нам необходимо использовать связь между зарядом на конденсаторе \(q\) и силой тока \(I\). По определению, сила тока равна производной заряда по времени:

\[I = \frac{dq}{dt}\]

В нашем случае, у нас задан закон изменения заряда конденсатора \(q = 10^{-4} \cos(10\pi t)\).

Чтобы получить силу тока \(I\), мы должны взять производную этого уравнения по времени:

\[I = \frac{d(10^{-4} \cos(10\pi t))}{dt}\]

Дифференцируя данный косинусоидальный закон, мы получаем:

\[I = -10^{-4} \cdot 10\pi \sin(10\pi t)\]

Теперь, когда у нас есть выражение для силы тока \(I\), мы можем рассчитать энергию магнитного поля \(E\).

Чтобы рассчитать индуктивность \(L\), нам нужно знать уравнение, связывающее емкость конденсатора \(C\) и индуктивность \(L\) в колебательном контуре:

\[L = \frac{1}{C}\]

В нашем случае, емкость \(C\) равна 1 мкФ (микрофарад), поэтому:

\[L = \frac{1}{1 \times 10^{-6}} = 10^6 \, \text{Гн}\]

Теперь мы можем подставить значения \(L\) и \(I\) в формулу для энергии магнитного поля:

\[E = \frac{1}{2} \times 10^6 \times \left(-10^{-4} \cdot 10\pi \sin(10\pi t)\right)^2\]

Для максимальной энергии магнитного поля, нам необходимо найти максимальное значение функции синуса, которое равно 1. Тогда у нас получится:

\[E_{\text{макс}} = \frac{1}{2} \times 10^6 \times \left(-10^{-4} \cdot 10\pi \times 1\right)^2\]

Раскрывая скобки и упрощая выражение:

\[E_{\text{макс}} = \frac{1}{2} \times 10^6 \times (-10^{-4} \cdot 10\pi)^2\]

\[E_{\text{макс}} = \frac{1}{2} \times 10^6 \times 10^{-8} \cdot (10\pi)^2\]

\[E_{\text{макс}} = \frac{1}{2} \times 10^{-2} \cdot 100\pi^2\]

\[E_{\text{макс}} = 5\pi^2 \, \text{Дж}\]

Таким образом, максимальная энергия магнитного поля в данном колебательном контуре при заданном изменении заряда конденсатора и емкости составляет \(5\pi^2\) джоулей.