Какова максимальная длина отрезка, который параллелен оси ординат и находится внутри фигуры, ограниченной двумя

Для начала рассмотрим фигуру, ограниченную двумя параболами \(y = x^2 - 5x + 3\) и \(y = 1 - x^2\). Чтобы найти максимальную длину отрезка, параллельного оси ординат и находящегося внутри этой фигуры, мы должны найти пересечение этих двух парабол.

Для этого приравняем уравнения парабол друг к другу и решим полученное квадратное уравнение:

\[x^2 - 5x + 3 = 1 - x^2.\]

Сгруппируем все слагаемые на одной стороне уравнения:

\[2x^2 - 5x + 2 = 0.\]

Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение или метод дискриминанта. В этом примере, воспользуемся методом дискриминанта. Для этого, нам нужно вычислить дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac.\]

В данном случае, \(a = 2\), \(b = -5\), и \(c = 2\), поэтому:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9.\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня уравнения. Теперь, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},\]

подставляем значения:

\[x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}.\]

Теперь найдём значения \(x\):

\[x_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2,\]
\[x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}.\]

Теперь мы можем найти соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\) в параболах:

Для параболы \(y = x^2 - 5x + 3\):
\[y_1 = (2)^2 - 5(2) + 3 = 4 - 10 + 3 = -3,\]
\[y_2 = (\frac{1}{2})^2 - 5(\frac{1}{2}) + 3 = \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 3 = \frac{13}{4}.\]

Для параболы \(y = 1 - x^2\):
\[y_1 = 1 - (2)^2 = 1 - 4 = -3,\]
\[y_2 = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.\]

Итак, у нас есть две точки пересечения парабол: \(A(2, -3)\) и \(B(\frac{1}{2}, \frac{13}{4})\). Теперь мы можем найти расстояние между этими двумя точками с использованием формулы расстояния между двумя точками:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.\]

Подставляем значения:

\[d = \sqrt{(\frac{1}{2} - 2)^2 + (\frac{13}{4} + 3)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{121}{16}} = \sqrt{\frac{121 + 36}{16}} = \sqrt{\frac{157}{16}}.\]

Таким образом, максимальная длина отрезка, параллельного оси ординат и находящегося внутри фигуры, ограниченной данными параболами, составляет \(\sqrt{\frac{157}{16}}\). Ответом является, примерно, 3.13 единицы длины.