Какова магнитная индукция поля в точке О, создаваемая током силой 100 А, на плоском контуре изогнутой части радиусом

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится применить закон Био-Савара-Лапласа, который позволяет найти магнитное поле в точке, создаваемое током в проводнике.

Перед тем как продолжить, давайте разберем обозначения на рисунке. В точке О у нас находится искомая точка, где мы хотим найти магнитную индукцию. Ток в проводнике равен 100 А, а радиус изогнутой части контура равен R.

Мы можем разбить контур на множество элементарных участков длиной ds и найти магнитное поле, создаваемое каждым из этих участков, а затем просуммировать их, чтобы получить общее поле в точке О.

Формула для расчета магнитной индукции от элементарного участка проводника имеет вид:

\[d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}\]

где:
- \(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 \approx 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м}/\text{А}\)),
- \(I\) - ток в элементарном участке проводника (\(I = 100 \, \text{А}\)),
- \(d\vec{l}\) - вектор длины элементарного участка проводника,
- \(\vec{r}\) - радиус-вектор от элементарного участка проводника до точки О,
- \(r\) - расстояние от элементарного участка проводника до точки О.

Поскольку наше поле симметрично относительно точки О, мы можем выбрать систему координат так, чтобы ось \(x\) проходила через точку О и была перпендикулярна плоскости контура. В этом случае, ток будет течь в положительном направлении оси \(y\).

Теперь мы можем приступить к нахождению магнитной индукции поля в точке О. Разобъем контур на элементарные участки длиной \(dl\) и найдем магнитное поле от каждого элемента:

\[d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, dl \cdot \sin(\theta) \, \vec{j} \times \vec{r}}{r^3}\]

где \(\vec{j}\) - вектор направления тока. Будем считать, что вектор \(d\vec{l}\) направлен вдоль оси \(x\), а вектор \(\vec{r}\) направлен вдоль оси \(y\).

Теперь, чтобы получить общую магнитную индукцию поля в точке О, просуммируем вклады от всех элементов проводника. Учитывая симметричность контура, мы можем представить интеграл в следующем виде:

\[\vec{B} = \int_{-L}^{L} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, dl \cdot \sin(\theta) \, \vec{j} \times \vec{r}}{r^3}\]

где \(L\) - половина длины контура. Мы можем заметить, что вектора \(\vec{j}\) и \(\vec{r}\) не зависят от координаты \(x\), поэтому мы можем вынести их за интеграл:

\[\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I}{r^3} \int_{-L}^{L} dl \cdot \sin(\theta) \, \vec{j} \times \vec{r}\]

Очевидно, что вектор \(\vec{j}\) и \(\vec{r}\) будут перпендикулярны друг другу, поэтому их векторное произведение будет пропорционально модулю каждого из них:

\[\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I}{r^3} \int_{-L}^{L} dl \cdot \sin(\theta) \cdot j \cdot r\]

Так как вектор \(\vec{j}\) направлен вдоль оси \(y\), то \(j = J\), где \(J\) - плотность тока в проводнике (ток, проходящий через единицу площади):

\[\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I}{r^3} \int_{-L}^{L} dl \cdot \sin(\theta) \cdot J \cdot r\]

Теперь осталось выразить \(r\) через символы, представленные на рисунке. Мы можем разделить радиус изогнутой части контура на две части: радиус изогнутой части \(R\) и радиус поворота контура \(r_0\). Тогда радиус-вектор \(\vec{r}\) можно представить в виде:

\[\vec{r} = -(\frac{R}{r_0} + \cos(\theta)) \vec{j} + \sin(\theta) \vec{k}\]

где \(\vec{k}\) - единичный вектор, направленный вдоль оси \(z\). Теперь мы можем выразить \(r\) через \(R\) и \(r_0\):

\[r = \sqrt{(\frac{R}{r_0} + \cos(\theta))^2 + \sin^2(\theta)}\]

Подставляя это выражение в наше уравнение для магнитной индукции, получаем:

\[\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I}{(\frac{R}{r_0} + \cos(\theta))^2 + \sin^2(\theta)} \int_{-L}^{L} dl \cdot \sin(\theta) \cdot J \cdot r\]

Теперь мы можем решить этот интеграл. Поскольку плоский контур имеет форму дуги окружности, длина дуги может быть выражена через угол \(\theta\) и радиус поворота \(r_0\):

\[l = r_0 \theta\]

Теперь подставим это в наше выражение для интеграла:

\[\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I}{(\frac{R}{r_0} + \cos(\theta))^2 + \sin^2(\theta)} \int_{-\theta_0}^{\theta_0} r_0 \cdot \sin(\theta) \cdot J \cdot r \, d\theta\]

где \(\theta_0\) - угол, на который изогнута дуга контура. Так как плоский контур симметричен относительно оси \(x\), то \(\theta_0 = \pi\).

Наконец, решим этот интеграл:

\[\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \cdot 2 r_0 J}{(\frac{R}{r_0} + \cos(\theta))^2 + \sin^2(\theta)} \int_{-\pi}^{\pi} \sin(\theta) \cdot r \, d\theta\]

Интеграл от \(\sin(\theta)\) по углу \(\theta\) равен 0, так как это интеграл от нечетной функции на симметричном интервале интегрирования. Поэтому нам не нужно беспокоиться о нем.

Окончательное выражение для магнитной индукции поля в точке О имеет вид:

\[\vec{B} = \frac{\mu_0}{2} \frac{I \cdot r_0 J}{(\frac{R}{r_0} + \cos(\theta))^2 + \sin^2(\theta)} \vec{k}\]

где \(\vec{k}\) - единичный вектор, направленный вдоль оси \(z\).

Таким образом, магнитная индукция поля в точке О, которое создается током силой 100 А на плоском контуре изогнутой части радиусом R, равна \(\frac{\mu_0}{2} \frac{I \cdot r_0 J}{(\frac{R}{r_0} + \cos(\theta))^2 + \sin^2(\theta)}\) в направлении, перпендикулярном плоскости контура и проходящем через точку О.