Какова магнитная индукция поля в точке О, создаваемая током силой 100 А, на плоском контуре изогнутой части радиусом

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится применить закон Био-Савара-Лапласа, который позволяет найти магнитное поле в точке, создаваемое током в проводнике.

Перед тем как продолжить, давайте разберем обозначения на рисунке. В точке О у нас находится искомая точка, где мы хотим найти магнитную индукцию. Ток в проводнике равен 100 А, а радиус изогнутой части контура равен R.

Мы можем разбить контур на множество элементарных участков длиной ds и найти магнитное поле, создаваемое каждым из этих участков, а затем просуммировать их, чтобы получить общее поле в точке О.

Формула для расчета магнитной индукции от элементарного участка проводника имеет вид:

$$d\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{r}}{r^3}$$

где:
- ${\mu }_0$ - магнитная постоянная (${\mu }_0\approx 4\pi \times {10}^{-7}\text{Тл}\cdot \text{м}/\text{А}$),
- $I$ - ток в элементарном участке проводника ($I=100\text{А}$),
- $d\overrightarrow{l}$ - вектор длины элементарного участка проводника,
- $\overrightarrow{r}$ - радиус-вектор от элементарного участка проводника до точки О,
- $r$ - расстояние от элементарного участка проводника до точки О.

Поскольку наше поле симметрично относительно точки О, мы можем выбрать систему координат так, чтобы ось $x$ проходила через точку О и была перпендикулярна плоскости контура. В этом случае, ток будет течь в положительном направлении оси $y$.

Теперь мы можем приступить к нахождению магнитной индукции поля в точке О. Разобъем контур на элементарные участки длиной $dl$ и найдем магнитное поле от каждого элемента:

$$d\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl\cdot \sin (\theta )\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{r}}{r^3}$$

где $\overrightarrow{j}$ - вектор направления тока. Будем считать, что вектор $d\overrightarrow{l}$ направлен вдоль оси $x$, а вектор $\overrightarrow{r}$ направлен вдоль оси $y$.

Теперь, чтобы получить общую магнитную индукцию поля в точке О, просуммируем вклады от всех элементов проводника. Учитывая симметричность контура, мы можем представить интеграл в следующем виде:

$$\overrightarrow{B}={\int }_{-L}^L\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl\cdot \sin (\theta )\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{r}}{r^3}$$

где $L$ - половина длины контура. Мы можем заметить, что вектора $\overrightarrow{j}$ и $\overrightarrow{r}$ не зависят от координаты $x$, поэтому мы можем вынести их за интеграл:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I}{r^3}{\int }_{-L}^{L}dl\cdot \sin (\theta )\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{r}$$

Очевидно, что вектор $\overrightarrow{j}$ и $\overrightarrow{r}$ будут перпендикулярны друг другу, поэтому их векторное произведение будет пропорционально модулю каждого из них:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I}{r^3}{\int }_{-L}^{L}dl\cdot \sin (\theta )\cdot j\cdot r$$

Так как вектор $\overrightarrow{j}$ направлен вдоль оси $y$, то $j=J$, где $J$ - плотность тока в проводнике (ток, проходящий через единицу площади):

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I}{r^3}{\int }_{-L}^{L}dl\cdot \sin (\theta )\cdot J\cdot r$$

Теперь осталось выразить $r$ через символы, представленные на рисунке. Мы можем разделить радиус изогнутой части контура на две части: радиус изогнутой части $R$ и радиус поворота контура $r_0$. Тогда радиус-вектор $\overrightarrow{r}$ можно представить в виде:

$$\overrightarrow{r}=-(\frac{R}{r_0}+\cos (\theta ))\overrightarrow{j}+\sin (\theta )\overrightarrow{k}$$

где $\overrightarrow{k}$ - единичный вектор, направленный вдоль оси $z$. Теперь мы можем выразить $r$ через $R$ и $r_0$:

$$r=\sqrt{(\frac{R}{r_0}+\cos (\theta ){)}^2+{\sin }^2(\theta )}$$

Подставляя это выражение в наше уравнение для магнитной индукции, получаем:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I}{(\frac{R}{r_0}+\cos (\theta ){)}^2+{\sin }^2(\theta )}{\int }_{-L}^{L}dl\cdot \sin (\theta )\cdot J\cdot r$$

Теперь мы можем решить этот интеграл. Поскольку плоский контур имеет форму дуги окружности, длина дуги может быть выражена через угол $\theta$ и радиус поворота $r_0$:

$$l=r_0\theta$$

Теперь подставим это в наше выражение для интеграла:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I}{(\frac{R}{r_0}+\cos (\theta ){)}^2+{\sin }^2(\theta )}{\int }_{-{\theta }_0}^{{\theta }_0}{r}_0\cdot \sin (\theta )\cdot J\cdot rd\theta$$

где ${\theta }_0$ - угол, на который изогнута дуга контура. Так как плоский контур симметричен относительно оси $x$, то ${\theta }_0=\pi$.

Наконец, решим этот интеграл:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I\cdot 2r_{0}J}{(\frac{R}{r_0}+\cos (\theta ){)}^2+{\sin }^2(\theta )}{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (\theta )\cdot rd\theta$$

Интеграл от $\sin (\theta )$ по углу $\theta$ равен 0, так как это интеграл от нечетной функции на симметричном интервале интегрирования. Поэтому нам не нужно беспокоиться о нем.

Окончательное выражение для магнитной индукции поля в точке О имеет вид:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{2}\frac{I\cdot r_{0}J}{(\frac{R}{r_0}+\cos (\theta ){)}^2+{\sin }^2(\theta )}\overrightarrow{k}$$

где $\overrightarrow{k}$ - единичный вектор, направленный вдоль оси $z$.

Таким образом, магнитная индукция поля в точке О, которое создается током силой 100 А на плоском контуре изогнутой части радиусом R, равна $\frac{{\mu }_0}{2}\frac{I\cdot r_{0}J}{(\frac{R}{r_0}+\cos (\theta ){)}^2+{\sin }^2(\theta )}$ в направлении, перпендикулярном плоскости контура и проходящем через точку О.