Какова линейная скорость грузов в момент, когда стержень достигает вертикального положения, при условии, что невесомый

Для решения этой задачи нам понадобится использовать законы сохранения энергии и уравнения движения тела.

Давайте начнем с выражения закона сохранения механической энергии для этой системы. Мы можем записать уравнение следующим образом:

\[ \frac{1}{2}I\omega^{2} + m_{1}gr_{1}(1 - \cos{A}) + m_{2}gr_{2}(1 - \cos{A}) = \frac{1}{2}I\omega^{2}_{f} \]

Где:
- \( I \) - момент инерции стержня относительно оси вращения (в данном случае точки О)
- \( \omega \) - угловая скорость стержня
- \( m_{1} \) и \( m_{2} \) - массы грузов
- \( r_{1} \) и \( r_{2} \) - расстояния грузов от точки О
- \( g \) - ускорение свободного падения
- \( A \) - угол отклонения стержня от вертикали
- \( \omega_{f} \) - угловая скорость стержня, когда он достигает вертикального положения

Также, момент инерции стержня \( I \) может быть выражен как сумма моментов инерции грузов, двигаясь вокруг оси вращения точки О:

\[ I = m_{1}r_{1}^{2} + m_{2}r_{2}^{2} \]

Раскроем и сократим выражение для сохранения энергии:

\[ \frac{1}{2}(m_{1}r_{1}^{2} + m_{2}r_{2}^{2})\omega^{2} + m_{1}gr_{1}(1 - \cos{A}) + m_{2}gr_{2}(1 - \cos{A}) = \frac{1}{2}(m_{1}r_{1}^{2} + m_{2}r_{2}^{2})\omega^{2}_{f} \]

Для определения линейной скорости нужно проанализировать движение грузов в момент, когда стержень достигает вертикального положения. В этот момент грузы имеют нулевую горизонтальную скорость, их движение происходит только в вертикальном направлении.

Используя второй закон Ньютона для первого груза, мы можем записать уравнение:

\[ m_{1}g - T_{1} = m_{1}a_{1} \]

Где:
- \( T_{1} \) - сила натяжения нити, действующая на первый груз
- \( a_{1} \) - ускорение первого груза

Аналогично, для второго груза:

\[ m_{2}g - T_{2} = m_{2}a_{2} \]

Где:
- \( T_{2} \) - сила натяжения нити, действующая на второй груз
- \( a_{2} \) - ускорение второго груза

На каждый груз также действует центростремительная сила, равная \( m_{1}a_{1} \) и \( m_{2}a_{2} \) соответственно.

Но так как нить невесомая, сила натяжения нити в любой точке нити равна. То есть \( T_{1} = T_{2} = T \).

Теперь мы можем записать уравнение для центростремительной силы, действующей на первый груз:

\[ m_{1}a_{1} = \frac{m_{1}v^{2}}{r_{1}} \]

Где:
- \( v \) - линейная скорость грузов в момент, когда стержень достигает вертикального положения

Аналогично для второго груза:

\[ m_{2}a_{2} = \frac{m_{2}v^{2}}{r_{2}} \]

Таким образом, мы получаем систему уравнений, которую можно решить методом подстановки:

\[
\begin{cases}
m_{1}g - T = \frac{m_{1}v^{2}}{r_{1}} \\
m_{2}g - T = \frac{m_{2}v^{2}}{r_{2}}
\end{cases}
\]

Сложим эти уравнения, чтобы избавиться от \( T \):

\[ (m_{1}g - T) + (m_{2}g - T) = \frac{m_{1}v^{2}}{r_{1}} + \frac{m_{2}v^{2}}{r_{2}} \]

\[ (m_{1} + m_{2})g - 2T = \frac{m_{1}v^{2}}{r_{1}} + \frac{m_{2}v^{2}}{r_{2}} \]

\[ (m_{1} + m_{2})g - 2T = v^{2}\left(\frac{m_{1}}{r_{1}} + \frac{m_{2}}{r_{2}}\right) \]

Подставим \( T = \frac{(m_{1} + m_{2})g}{2} \):

\[ (m_{1} + m_{2})g - 2\left(\frac{(m_{1} + m_{2})g}{2}\right) = v^{2}\left(\frac{m_{1}}{r_{1}} + \frac{m_{2}}{r_{2}}\right) \]

\[ 2g(m_{1} + m_{2}) - 2g(m_{1} + m_{2}) = v^{2}\left(\frac{m_{1}}{r_{1}} + \frac{m_{2}}{r_{2}}\right) \]

\[ 0 = v^{2}\left(\frac{m_{1}}{r_{1}} + \frac{m_{2}}{r_{2}}\right) \]

Из этого уравнения видно, что линейная скорость грузов в момент, когда стержень достигает вертикального положения, равна нулю.

Таким образом, линейная скорость грузов будет равна нулю, когда стержень достигнет вертикального положения.