Какова индуктивность контура, если напряжение на обкладках конденсатора изменяется по закону u = 100 cos 100000

Чтобы найти индуктивность контура, будем использовать формулу:

\[u = -L \frac{{di}}{{dt}}\]

где \(u\) - напряжение на обкладках конденсатора, \(L\) - индуктивность контура, и \(\frac{{di}}{{dt}}\) - производная тока по времени.

Для начала найдем производную \(\frac{{du}}{{dt}}\):

\[\frac{{du}}{{dt}} = -100 \cdot 100000 \sin (100000 \pi t)\]

Теперь, используя формулу \(u = -L \frac{{di}}{{dt}}\), мы можем найти индуктивность контура:

\[-100 \cdot 100000 \sin (100000 \pi t) = -L \frac{{di}}{{dt}}\]

Теперь возьмем производную по времени от обеих сторон:

\[10000000000 \pi \cos (100000 \pi t) = L \frac{{d^2i}}{{dt^2}}\]

Так как здесь нет функции \(i(t)\), можем сделать предположение, что ток \(i(t)\) меняется по синусоидальному закону. Предположим, что ток имеет вид:

\[i(t) = I \sin (100000 \pi t + \alpha)\]

Теперь возьмем вторую производную от \(i(t)\):

\[\frac{{d^2i}}{{dt^2}} = -100000^2 \pi^2 I \sin (100000 \pi t + \alpha)\]

Подставив это значение в наше уравнение, получим:

\[10000000000 \pi \cos (100000 \pi t) = -100000^2 \pi^2 I \sin (100000 \pi t + \alpha)\]

Теперь мы можем сравнить коэффициенты при \(\cos (100000 \pi t)\) и \(\sin (100000 \pi t + \alpha)\):

\[10000000000 \pi = -100000^2 \pi^2 I\]

Теперь решим это уравнение относительно \(L\):

\[L = \frac{{10000000000 \pi}}{{100000^2 \pi^2}} = \frac{{10}}{{100000}} \, Гн\]

Таким образом, индуктивность контура составляет \(\frac{{10}}{{100000}}\) Гн.

Теперь перейдем ко второй части задачи, где нужно найти максимальное значение энергии магнитного поля катушки.

Энергия магнитного поля катушки может быть найдена с использованием формулы:

\[W = \frac{{1}}{{2}} L I^2\]

где \(L\) - индуктивность контура, \(I\) - амплитуда тока.

В нашем случае \(L = \frac{{10}}{{100000}}\) Гн. Чтобы найти максимальное значение энергии, мы должны знать амплитуду тока \(I\).

Однако, у нас нет прямой информации о амплитуде тока. Мы только знаем, что напряжение меняется по закону \(u = 100 \cos (100000 \pi t)\).

Чтобы найти амплитуду тока, мы можем использовать формулу для амплитудного значения периодической функции. В нашем случае \(u = 100 \cos (100000 \pi t)\), амплитудой будет \(A = 100\).

Следовательно, амплитуда тока \(I\) также равна \(A = 100\).

Теперь мы можем рассчитать максимальное значение энергии магнитного поля катушки:

\[W = \frac{{1}}{{2}} \cdot \frac{{10}}{{100000}} \cdot (100)^2\]

Выполнив вычисления, получим:

\[W = 0.05 \, Дж\]

Таким образом, максимальное значение энергии магнитного поля катушки равно 0.05 Дж.