Какова индуктивность катушки радиоприемника с емкостью 20 пФ, настроенного на волну длиной 5 метров?

Чтобы найти индуктивность катушки радиоприемника в данной задаче, мы можем использовать формулу для резонансной частоты:

\[f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\]

где \(f\) - частота, \(L\) - индуктивность катушки, и \(C\) - емкость.

Нам дана частота волнового сигнала (\(f\)), длина волны (\(\lambda\)) и емкость (\(C\)). Для нахождения индуктивности (\(L\)) нам необходимо переписать формулу, чтобы выразить \(L\) и подставить значения:

\[L = \frac{1}{{(2\pi f)^2 C}}\]

Чтобы использовать эту формулу, мы должны сначала найти частоту (\(f\)) нашего радиоприемника. Мы можем использовать формулу для скорости света, чтобы найти частоту:

\[v = f\lambda\]

где \(v\) - скорость света в метрах в секунду. Значение скорости света обычно округляется до \(3 \times 10^8\) м/с. Подставляя значения, получим:

\[f = \frac{v}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8 \, \text{м/с}}{5 \, \text{м}}\]

Теперь, когда у нас есть частота (\(f\)), мы можем использовать ее в формуле для индуктивности (\(L\)):

\[L = \frac{1}{{(2\pi f)^2 C}} = \frac{1}{{(2\pi \times \frac{3 \times 10^8 \, \text{м/с}}{5 \, \text{м}})^2 \times 20 \times 10^{-12} \, \text{Ф}}}\]

Прежде, чем приступить к вычислениям, давайте упростим выражение в знаменателе:

\[L = \frac{1}{{(2\pi \times \frac{3 \times 10^8}{5})^2 \times 20 \times 10^{-12}}}\]

Теперь вычислим числитель:

\[(2\pi \times \frac{3 \times 10^8 \, \text{м/с}}{5 \, \text{м}})^2 = (2\pi \times \frac{3 \times 10^8}{5})^2\]

\[(2\pi \times \frac{3 \times 10^8}{5})^2 = (\frac{6\pi \times 10^8}{5})^2\]

\[(\frac{6\pi \times 10^8}{5})^2 = \frac{(6\pi \times 10^8)^2}{5^2}\]

Результатом данного выражения будет:

\[\frac{(6\pi \times 10^8)^2}{5^2} = \frac{(36\pi^2 \times 10^{16})}{25}\]

Теперь, когда мы упростили числитель, давайте подставим его обратно в формулу для индуктивности:

\[L = \frac{1}{{\frac{(36\pi^2 \times 10^{16})}{25} \times 20 \times 10^{-12}}}\]

Мы можем упростить выражение в знаменателе:

\[\frac{(36\pi^2 \times 10^{16})}{25} \times 20 \times 10^{-12} = \frac{(36\pi^2 \times 20 \times 10^{16})}{25 \times 10^{12}}\]

Сокращая числитель и знаменатель на общие множители, получаем:

\[\frac{(36\pi^2 \times 20 \times 10^{16})}{25 \times 10^{12}} = \frac{36\pi^2 \times 20}{25} \times 10^{16-12}\]

\[\frac{36\pi^2 \times 20}{25} \times 10^{16-12} = \frac{36\pi^2 \times 20}{25} \times 10^4\]

Теперь, когда мы упростили выражение в знаменателе, вычислим это выражение:

\[\frac{36\pi^2 \times 20}{25} \times 10^4 = \frac{36\pi^2 \times 20 \times 10^4}{25}\]

\[\frac{36\pi^2 \times 20 \times 10^4}{25} = \frac{36\pi^2 \times 20}{25} \times 10^4\]

\[\frac{36\pi^2 \times 20}{25} \times 10^4 = \frac{720\pi^2}{25} \times 10^4\]

Мы почти закончили, теперь давайте выполнять окончательные вычисления:

\[\frac{720\pi^2}{25} \times 10^4 = 28,798,153 \times 10^4\]

Итак, индуктивность катушки радиоприемника с емкостью 20 пФ, настроенного на волну длиной 5 метров, составляет приблизительно \(28,798,153 \times 10^4\) Гн (генри).