Какова индукция магнитного поля в точке, расположенной на расстоянии d = 20 см от двух параллельных проводов, через которые проходят токи силой i1=i2=i= 10 а, в следующих случаях:
а) когда направления токов одинаковы;
б) когда направления токов противоположны.
а) когда направления токов одинаковы;
б) когда направления токов противоположны.
Yuriy
Хорошо, давайте решим задачу поэтапно.
В данной задаче мы имеем два параллельных провода, через которые проходят токи силой \(i_1 = i_2 = i = 10 \, \text{А}\). Мы хотим найти индукцию магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии \(d = 20 \, \text{см}\) от этих проводов.
а) Когда направления токов одинаковы:
В данном случае, когда направления токов одинаковы, магнитные поля, создаваемые этими проводами, складываются друг с другом в точке, на которой мы хотим найти индукцию магнитного поля. Чтобы вычислить итоговую индукцию магнитного поля, мы можем использовать правило правой руки для определения направления поля на каждом проводнике.
Правило правой руки (для проводника):
- Положите ваш пятипалецую правую руку вдоль проводника.
- Ваш большой палец должен указывать в направлении тока.
- Пальцы должны быть изогнуты вокруг проводника.
- Пальцы указывают в направлении индукции магнитного поля вокруг проводника.
С помощью этого правила можно показать, что магнитное поле вокруг каждого провода будет направлено против часовой стрелки. Таким образом, магнитные поля, созданные каждым проводником, будут складываться друг с другом в точке, и итоговое магнитное поле будет нацелено против часовой стрелки.
Теперь давайте вычислим индукцию магнитного поля в точке. Для этого мы будем использовать закон Био-Савара-Лапласа.
Закон Био-Савара-Лапласа:
Для отрезка провода длиной \(l\), по которому протекает ток силой \(i\), индукция магнитного поля в точке \(P\), находящейся на расстоянии \(r\) от провода, может быть рассчитана с помощью следующего выражения:
\[d\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, d\vec{l} \times \hat{r}}}{{r^2}}\]
где:
- \(d\vec{B}\) - вектор индукции магнитного поля, создаваемого малым элементом провода;
- \(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 \approx 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}\));
- \(i\) - сила тока в проводе;
- \(d\vec{l}\) - малый элемент провода;
- \(\vec{r}\) - радиус-вектор от элемента провода до точки наблюдения;
- \(r\) - расстояние между элементом провода и точкой наблюдения.
Так как в нашей задаче сила тока одинаковая для обоих проводов (\(i_1 = i_2 = i\)), мы можем рассчитать индукцию магнитного поля, создаваемую одним проводом и удвоить полученный результат.
По формуле закона Био-Савара-Лапласа, индукция магнитного поля в точке \(P\), создаваемая одним из параллельных проводов, равна:
\[d\vec{B}_1 = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, d\vec{l}_1 \times \hat{r}_1}}{{r_1^2}}\]
Так как положение точки находится на расстоянии \(d\) от провода, то для случая, когда направления токов одинаковы, это расстояние будет равно половине расстояния между проводами: \(r_1 = \frac{{d}}{2}\).
Теперь мы можем рассчитать величину индукции магнитного поля для одного провода. Так как векторы \(d\vec{l}_1\) и \(\hat{r}_1\) перпендикулярны друг другу, их векторное произведение даст вектор, перпендикулярный плоскости, образованной \(d\vec{l}_1\) и \(\hat{r}_1\). В нашем случае, так как положение точки будет нацелено в одну сторону, это будет указывать против часовой стрелки.
Теперь давайте рассчитаем индукцию магнитного поля для одного провода, предполагая, что его длина \(l\) неизвестна. Заметим, что сама длина провода нам не интересна, так как в задаче дано, что сила тока все время равна \(i\), поэтому мы можем игнорировать длину провода и обозначить малый элемент провода как \(dl_1\).
Далее давайте рассчитаем величину \(d\vec{B}_1\):
\[d\vec{B}_1 = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, dl_1 \, \sin{\theta_1}}}{{r_1^2}} \hat{n}_1\]
где:
- \(\theta_1\) - угол между векторами \(dl_1\) и \(\hat{r}_1\);
- \(\hat{n}_1\) - единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной \(dl_1\) и \(\hat{r}_1\), указывает против часовой стрелки.
Теперь мы можем заменить значения \(r_1\) и \(\hat{r}_1\):
\[r_1 = \frac{{d}}{2}\]
\[\hat{r}_1 = \frac{{\vec{r}_1}}{{r_1}}\]
где:
- \(\vec{r}_1\) - радиус-вектор от элемента провода до точки наблюдения на расстоянии \(d\).
Теперь давайте рассмотрим вектор \(dl_1\). Так как магнитное поле радиально симметрично относительно провода, мы можем принять \(dl_1\) в направлении \(z\)-оси, и это никак не повлияет на результаты расчета. Поэтому можем записать:
\[dl_1 = dx \hat{z}\]
где:
- \(dx\) - длина малого элемента провода, ориентированного по \(z\)-оси;
- \(\hat{z}\) - единичный вектор, указывающий в положительном направлении \(z\)-оси.
Теперь мы можем записать векторное произведение \(dl_1 \times \hat{r}_1\) как:
\[dl_1 \times \hat{r}_1 = (dx \hat{z}) \times (\hat{r}_1) = dx (\hat{z} \times \hat{r}_1)\]
Так как \(\hat{r}_1\) перпендикулярный вектор к \(z\)-оси, угол между \(\hat{z}\) и \(\hat{r}_1\) составляет \(90^{\circ}\). Поэтому можем записать:
\[\hat{z} \times \hat{r}_1 = \sin{\theta_1} \hat{\phi}\]
где:
- \(\hat{\phi}\) - единичный вектор в фи-направлении (в плоскости \(yz\)).
Таким образом, можем переписать величину \(d\vec{B}_1\) следующим образом:
\[d\vec{B}_1 = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, dx \, \sin{\theta_1}}}{{r_1}} (\hat{z} \times \hat{r}_1)\]
Теперь для подсчета индукции магнитного поля, создаваемого одним проводом, нам нужно проинтегрировать \(d\vec{B}_1\) по всей длине провода. Так как сила тока одинаковая на протяжении всего провода (\(i_1 = i\)), мы можем просто умножить \(d\vec{B}_1\) на длину провода (\(l\)) и удвоить полученный результат для обоих проводов:
\[\vec{B}_1 = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, d}}{{2}} \int \frac{{dx}}{{r_1}} (\hat{z} \times \hat{r}_1)\]
Теперь мы можем вычислить этот интеграл. Поскольку расстояние между элементарным участком провода и точкой наблюдения представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами \(d/2\) и \(x\), а угол между гипотенузой и горизонталью составляет \(\alpha\), то мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы записать \(r_1\) (гипотенузу) как:
\[r_1 = \sqrt{\left(\frac{{d}}{{2}}\right)^2 + x^2}\]
А также косинус и синус угла \(\alpha\):
\[\cos{\alpha} = \frac{{d/2}}{{r_1}}\]
\[\sin{\alpha} = \frac{{x}}{{r_1}}\]
Теперь мы можем переписать радиус-вектор \(\vec{r}_1\) следующим образом:
\[\vec{r}_1 = -\frac{{d}}{{2}} \hat{y} + x \hat{x}\]
Мы можем записать индукцию магнитного поля следующим образом:
\[\vec{B}_1 = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, d}}{{2}} \int \frac{{dx}}{{r_1}} (\hat{z} \times \hat{r}_1)\]
\[\vec{B}_1 = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, d}}{{2}} \int \frac{{dx}}{{\sqrt{\left(\frac{{d}}{{2}}\right)^2 + x^2}}} (\hat{z} \times (-\frac{{d}}{{2}} \hat{y} + x \hat{x}))\]
\[\vec{B}_1 = -\frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, d^2}}{{4}} \int \frac{{dx}}{{\left(\left(\frac{{d}}{{2}}\right)^2 + x^2\right)^{3/2}}} \hat{z} \times \hat{x}\]
Теперь мы можем интегрировать этот выражение. Поскольку здесь присутствуют сложные тригонометрические функции, для упрощения интегрирования мы можем использовать подстановку \(x = \frac{{d}}{{2}} \tan{\theta}\), откуда \(dx = \frac{{d}}{{2}} \sec^2{\theta} d\theta\), а также:
\[\sqrt{\left(\frac{{d}}{{2}}\right)^2 + x^2} = \frac{{d}}{{2}} \sqrt{1 + \tan^2{\theta}} = \frac{{d}}{{2}} \sec{\theta}\]
\[\sin{\theta} = \frac{{x}}{{\sqrt{\left(\frac{{d}}{{2}}\right)^2 + x^2}}} = \frac{{2x}}{{d\sec{\theta}}} = 2 \sin{\theta}\]
\[\cos{\theta} = \frac{{\sqrt{\left(\frac{{d}}{{2}}\right)^2 + x^2}}}{{\sqrt{\left(\frac{{d}}{{2}}\right)^2 + x^2}}} = \frac{{d}}{{2d}} = \frac{{1}}{{2}}\]
Теперь мы можем переписать интеграл следующим образом:
\[\vec{B}_1 = -\frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, d^2}}{{4}} \int \frac{{\frac{{d}}{{2}} \sec^2{\theta} d\theta}}{{\left(\frac{{d}}{{2}} \sec{\theta}\right)^3}} \hat{z} \times \hat{x}\]
\[\vec{B}_1 = -\frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, d^2}}{{4}} \int \frac{{\frac{{1}}{{2}} \sec^2{\theta} d\theta}}{{\left(\frac{{d}}{{2}}\right)^3 \sec^3{\theta}}} \hat{z} \times \hat{x}\]
\[\vec{B}_1 = -\frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i}}{{4d}} \int (\cos{\theta}) (\cos^2{\theta}) d\theta \, \hat{z} \times \hat{x}\]
\[\vec{B}_1 = -\frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i}}{{4d}} \int \cos^3{\theta} d\theta \, \hat{z} \times \hat{x}\]
Теперь мы можем приступить к интегрированию.
\[\vec{B}_1 = -\frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i}}{{4d}} \left(\frac{{3}}{{4}}\sin{\theta
В данной задаче мы имеем два параллельных провода, через которые проходят токи силой \(i_1 = i_2 = i = 10 \, \text{А}\). Мы хотим найти индукцию магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии \(d = 20 \, \text{см}\) от этих проводов.
а) Когда направления токов одинаковы:
В данном случае, когда направления токов одинаковы, магнитные поля, создаваемые этими проводами, складываются друг с другом в точке, на которой мы хотим найти индукцию магнитного поля. Чтобы вычислить итоговую индукцию магнитного поля, мы можем использовать правило правой руки для определения направления поля на каждом проводнике.
Правило правой руки (для проводника):
- Положите ваш пятипалецую правую руку вдоль проводника.
- Ваш большой палец должен указывать в направлении тока.
- Пальцы должны быть изогнуты вокруг проводника.
- Пальцы указывают в направлении индукции магнитного поля вокруг проводника.
С помощью этого правила можно показать, что магнитное поле вокруг каждого провода будет направлено против часовой стрелки. Таким образом, магнитные поля, созданные каждым проводником, будут складываться друг с другом в точке, и итоговое магнитное поле будет нацелено против часовой стрелки.
Теперь давайте вычислим индукцию магнитного поля в точке. Для этого мы будем использовать закон Био-Савара-Лапласа.
Закон Био-Савара-Лапласа:
Для отрезка провода длиной \(l\), по которому протекает ток силой \(i\), индукция магнитного поля в точке \(P\), находящейся на расстоянии \(r\) от провода, может быть рассчитана с помощью следующего выражения:
\[d\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, d\vec{l} \times \hat{r}}}{{r^2}}\]
где:
- \(d\vec{B}\) - вектор индукции магнитного поля, создаваемого малым элементом провода;
- \(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 \approx 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}\));
- \(i\) - сила тока в проводе;
- \(d\vec{l}\) - малый элемент провода;
- \(\vec{r}\) - радиус-вектор от элемента провода до точки наблюдения;
- \(r\) - расстояние между элементом провода и точкой наблюдения.
Так как в нашей задаче сила тока одинаковая для обоих проводов (\(i_1 = i_2 = i\)), мы можем рассчитать индукцию магнитного поля, создаваемую одним проводом и удвоить полученный результат.
По формуле закона Био-Савара-Лапласа, индукция магнитного поля в точке \(P\), создаваемая одним из параллельных проводов, равна:
\[d\vec{B}_1 = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, d\vec{l}_1 \times \hat{r}_1}}{{r_1^2}}\]
Так как положение точки находится на расстоянии \(d\) от провода, то для случая, когда направления токов одинаковы, это расстояние будет равно половине расстояния между проводами: \(r_1 = \frac{{d}}{2}\).
Теперь мы можем рассчитать величину индукции магнитного поля для одного провода. Так как векторы \(d\vec{l}_1\) и \(\hat{r}_1\) перпендикулярны друг другу, их векторное произведение даст вектор, перпендикулярный плоскости, образованной \(d\vec{l}_1\) и \(\hat{r}_1\). В нашем случае, так как положение точки будет нацелено в одну сторону, это будет указывать против часовой стрелки.
Теперь давайте рассчитаем индукцию магнитного поля для одного провода, предполагая, что его длина \(l\) неизвестна. Заметим, что сама длина провода нам не интересна, так как в задаче дано, что сила тока все время равна \(i\), поэтому мы можем игнорировать длину провода и обозначить малый элемент провода как \(dl_1\).
Далее давайте рассчитаем величину \(d\vec{B}_1\):
\[d\vec{B}_1 = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, dl_1 \, \sin{\theta_1}}}{{r_1^2}} \hat{n}_1\]
где:
- \(\theta_1\) - угол между векторами \(dl_1\) и \(\hat{r}_1\);
- \(\hat{n}_1\) - единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной \(dl_1\) и \(\hat{r}_1\), указывает против часовой стрелки.
Теперь мы можем заменить значения \(r_1\) и \(\hat{r}_1\):
\[r_1 = \frac{{d}}{2}\]
\[\hat{r}_1 = \frac{{\vec{r}_1}}{{r_1}}\]
где:
- \(\vec{r}_1\) - радиус-вектор от элемента провода до точки наблюдения на расстоянии \(d\).
Теперь давайте рассмотрим вектор \(dl_1\). Так как магнитное поле радиально симметрично относительно провода, мы можем принять \(dl_1\) в направлении \(z\)-оси, и это никак не повлияет на результаты расчета. Поэтому можем записать:
\[dl_1 = dx \hat{z}\]
где:
- \(dx\) - длина малого элемента провода, ориентированного по \(z\)-оси;
- \(\hat{z}\) - единичный вектор, указывающий в положительном направлении \(z\)-оси.
Теперь мы можем записать векторное произведение \(dl_1 \times \hat{r}_1\) как:
\[dl_1 \times \hat{r}_1 = (dx \hat{z}) \times (\hat{r}_1) = dx (\hat{z} \times \hat{r}_1)\]
Так как \(\hat{r}_1\) перпендикулярный вектор к \(z\)-оси, угол между \(\hat{z}\) и \(\hat{r}_1\) составляет \(90^{\circ}\). Поэтому можем записать:
\[\hat{z} \times \hat{r}_1 = \sin{\theta_1} \hat{\phi}\]
где:
- \(\hat{\phi}\) - единичный вектор в фи-направлении (в плоскости \(yz\)).
Таким образом, можем переписать величину \(d\vec{B}_1\) следующим образом:
\[d\vec{B}_1 = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, dx \, \sin{\theta_1}}}{{r_1}} (\hat{z} \times \hat{r}_1)\]
Теперь для подсчета индукции магнитного поля, создаваемого одним проводом, нам нужно проинтегрировать \(d\vec{B}_1\) по всей длине провода. Так как сила тока одинаковая на протяжении всего провода (\(i_1 = i\)), мы можем просто умножить \(d\vec{B}_1\) на длину провода (\(l\)) и удвоить полученный результат для обоих проводов:
\[\vec{B}_1 = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, d}}{{2}} \int \frac{{dx}}{{r_1}} (\hat{z} \times \hat{r}_1)\]
Теперь мы можем вычислить этот интеграл. Поскольку расстояние между элементарным участком провода и точкой наблюдения представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами \(d/2\) и \(x\), а угол между гипотенузой и горизонталью составляет \(\alpha\), то мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы записать \(r_1\) (гипотенузу) как:
\[r_1 = \sqrt{\left(\frac{{d}}{{2}}\right)^2 + x^2}\]
А также косинус и синус угла \(\alpha\):
\[\cos{\alpha} = \frac{{d/2}}{{r_1}}\]
\[\sin{\alpha} = \frac{{x}}{{r_1}}\]
Теперь мы можем переписать радиус-вектор \(\vec{r}_1\) следующим образом:
\[\vec{r}_1 = -\frac{{d}}{{2}} \hat{y} + x \hat{x}\]
Мы можем записать индукцию магнитного поля следующим образом:
\[\vec{B}_1 = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, d}}{{2}} \int \frac{{dx}}{{r_1}} (\hat{z} \times \hat{r}_1)\]
\[\vec{B}_1 = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, d}}{{2}} \int \frac{{dx}}{{\sqrt{\left(\frac{{d}}{{2}}\right)^2 + x^2}}} (\hat{z} \times (-\frac{{d}}{{2}} \hat{y} + x \hat{x}))\]
\[\vec{B}_1 = -\frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, d^2}}{{4}} \int \frac{{dx}}{{\left(\left(\frac{{d}}{{2}}\right)^2 + x^2\right)^{3/2}}} \hat{z} \times \hat{x}\]
Теперь мы можем интегрировать этот выражение. Поскольку здесь присутствуют сложные тригонометрические функции, для упрощения интегрирования мы можем использовать подстановку \(x = \frac{{d}}{{2}} \tan{\theta}\), откуда \(dx = \frac{{d}}{{2}} \sec^2{\theta} d\theta\), а также:
\[\sqrt{\left(\frac{{d}}{{2}}\right)^2 + x^2} = \frac{{d}}{{2}} \sqrt{1 + \tan^2{\theta}} = \frac{{d}}{{2}} \sec{\theta}\]
\[\sin{\theta} = \frac{{x}}{{\sqrt{\left(\frac{{d}}{{2}}\right)^2 + x^2}}} = \frac{{2x}}{{d\sec{\theta}}} = 2 \sin{\theta}\]
\[\cos{\theta} = \frac{{\sqrt{\left(\frac{{d}}{{2}}\right)^2 + x^2}}}{{\sqrt{\left(\frac{{d}}{{2}}\right)^2 + x^2}}} = \frac{{d}}{{2d}} = \frac{{1}}{{2}}\]
Теперь мы можем переписать интеграл следующим образом:
\[\vec{B}_1 = -\frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, d^2}}{{4}} \int \frac{{\frac{{d}}{{2}} \sec^2{\theta} d\theta}}{{\left(\frac{{d}}{{2}} \sec{\theta}\right)^3}} \hat{z} \times \hat{x}\]
\[\vec{B}_1 = -\frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i \, d^2}}{{4}} \int \frac{{\frac{{1}}{{2}} \sec^2{\theta} d\theta}}{{\left(\frac{{d}}{{2}}\right)^3 \sec^3{\theta}}} \hat{z} \times \hat{x}\]
\[\vec{B}_1 = -\frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i}}{{4d}} \int (\cos{\theta}) (\cos^2{\theta}) d\theta \, \hat{z} \times \hat{x}\]
\[\vec{B}_1 = -\frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i}}{{4d}} \int \cos^3{\theta} d\theta \, \hat{z} \times \hat{x}\]
Теперь мы можем приступить к интегрированию.
\[\vec{B}_1 = -\frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{i}}{{4d}} \left(\frac{{3}}{{4}}\sin{\theta
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
