Какова индукция магнитного поля в Центре квадрата с проводом, спрямленным в виде квадрата со стороной 60 см

Для решения данной задачи используем закон Био-Савара-Лапласа, который гласит, что индукция магнитного поля \(dB\) в некоторой точке на расстоянии \(d\) от проводника с током пропорциональна току в проводнике \(I\), длине проводника \(dl\) и синусу угла \(\theta\) между вектором, проведённым из точки до элемента длины провода, и осью, соединяющей центр квадрата с этой точкой.

Используя геометрические соображения и симметрию системы, мы можем упростить задачу. Разделим длину провода на четыре части по одинаковой длине \(a\), которая равна стороне квадрата. Таким образом, суммарная индукция магнитного поля в центре квадрата будет равна сумме индукций магнитных полей от каждого из этих частей.

Рассмотрим первую четверть провода. Она оказывает вклад \(dB_1\) в индукцию магнитного поля в центре квадрата. Расстояние \(d_1\) от этой четверти провода до центра квадрата можно выразить как половину длины диагонали квадрата. Итак, \(d_1 = \frac{a}{2}\sqrt{2}\).

Теперь мы можем записать выражение для \(dB_1\) с использованием закона Био-Савара-Лапласа:

\[dB_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \cdot dl \cdot \sin(\theta)}{d_1^2}\]

Здесь \(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, Тл \cdot м/А\)).

Подставляем значения, известные нам из условия задачи. Длина проводника \(dl\) равна \(a\). Учитывая симметрию системы, можно сказать, что угол \(\theta\) между вектором, проведённым из точки до элемента длины провода, и осью, соединяющей центр квадрата с этой точкой, будет равен 45 градусам.

Подставляем все значения в формулу и вычисляем интеграл, чтобы получить суммарную индукцию магнитного поля в центре квадрата:

\[B = 4 \cdot dB_1 = 4 \cdot \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \cdot a \cdot \sin(\theta)}{d_1^2}\]

Вычисляем значения:

\[
B = 4 \cdot \frac{4\pi \times 10^{-7} \, Тл \cdot м/А}{4\pi} \frac{3 \, А \cdot 0.6 \, м \cdot \sin(45^\circ)}{\left(\frac{0.6 \, м}{2} \cdot \sqrt{2}\right)^2}
\]

\[
B = 4 \cdot 10^{-7} \, Тл \cdot м/А \cdot 3 \, А \cdot 0.6 \, м \cdot \frac{\sqrt{2}}{\left(\frac{0.6 \, м}{2} \cdot \sqrt{2}\right)^2}
\]

\[
B = 4 \cdot 10^{-7} \, Тл \cdot м/А \cdot 3 \, А \cdot 1.414 \approx 5.656 \cdot 10^{-7} \, Тл
\]

Таким образом, индукция магнитного поля в центре квадрата с проводом, спрямленным в виде квадрата со стороной 60 см и с течением постоянного тока 3 А, составляет примерно 5.656 мкТл.