Какова градусная мера угла М треугольника MNT с вершинами в точках M(1;-1;3), N(3;-1;1) и T(-1;1;3)?

Для решения данной задачи нам понадобится использовать формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами. Воспользуемся следующей формулой:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}}{{\|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\|}}
\]

Где \(\theta\) - угол между векторами \(\mathbf{A}\) и \(\mathbf{B}\), \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) - скалярное произведение векторов \(\mathbf{A}\) и \(\mathbf{B}\), а \(\|\mathbf{A}\|\) и \(\|\mathbf{B}\|\) - длины векторов \(\mathbf{A}\) и \(\mathbf{B}\) соответственно.

Перед тем, как начать, нам необходимо вычислить вектора \(\mathbf{MN}\) и \(\mathbf{MT}\).

Для вектора \(\mathbf{MN}\) получим:

\[
\mathbf{MN} = \mathbf{N} - \mathbf{M}
\]

\[
\mathbf{MN} = (3;-1;1) - (1;-1;3)
\]

\[
\mathbf{MN} = (2;0;-2)
\]

Аналогично для вектора \(\mathbf{MT}\) получим:

\[
\mathbf{MT} = \mathbf{T} - \mathbf{M}
\]

\[
\mathbf{MT} = (-1;1;3) - (1;-1;3)
\]

\[
\mathbf{MT} = (-2;2;0)
\]

Теперь вычислим скалярное произведение векторов \(\mathbf{MN}\) и \(\mathbf{MT}\):

\[
\mathbf{MN} \cdot \mathbf{MT} = (2;0;-2) \cdot (-2;2;0)
\]

\[
\mathbf{MN} \cdot \mathbf{MT} = 2 \cdot -2 + 0 \cdot 2 + -2 \cdot 0 = -4
\]

Длины векторов \(\mathbf{MN}\) и \(\mathbf{MT}\) равны:

\[
\|\mathbf{MN}\| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]

\[
\|\mathbf{MT}\| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]

Теперь можем применить формулу для нахождения косинуса угла:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{MN} \cdot \mathbf{MT}}}{{\|\mathbf{MN}\| \|\mathbf{MT}\|}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{{-4}}{{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{{-4}}{{8}} = -\frac{{1}}{{2}}
\]

Нам известно, что косинус угла равен отношению катета противолежащего углу к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В нашем случае, катет противолежащий углу \(\theta\) - это -1, а гипотенуза - это 2.

Следовательно, мы имеем:

\[
\cos(\theta) = -\frac{{1}}{{2}} = \frac{{-1}}{{2}} = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}
\]

Таким образом, получаем, что \(\theta\) равен \(120^\circ\).

Ответ: Градусная мера угла М треугольника MNT равна \(120^\circ\).