Какова градусная мера угла М треугольника MNT, если M имеет координаты (1;-1;3), N имеет координаты (3;-1;1) и T имеет

Для начала определим векторы \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MT}\).

Вектор \(\overrightarrow{MN}\) можно получить, вычтя координаты точки \(N\) из координат точки \(M\):

\[
\overrightarrow{MN} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ -1 - (-1) \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}
\]

Аналогично, вектор \(\overrightarrow{MT}\) можно получить, вычтя координаты точки \(T\) из координат точки \(M\):

\[
\overrightarrow{MT} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - 1 \\ 1 - (-1) \\ 3 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}
\]

Теперь найдем косинус угла между векторами \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MT}\) с помощью скалярного произведения:

\[
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MT}}{\|\overrightarrow{MN}\| \|\overrightarrow{MT}\|}
\]

где \(\|\overrightarrow{MN}\|\) и \(\|\overrightarrow{MT}\|\) - длины векторов \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MT}\) соответственно.

Длина вектора \(\overrightarrow{MN}\) вычисляется по формуле:

\[
\|\overrightarrow{MN}\| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}
\]

где \(\Delta x\), \(\Delta y\), и \(\Delta z\) - разности координат между точкой \(M\) и точкой \(N\).

Заменяя значения, получим:

\[
\|\overrightarrow{MN}\| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]

Аналогично, длина вектора \(\overrightarrow{MT}\) равна:

\[
\|\overrightarrow{MT}\| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]

Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MT}\) вычисляется как:

\[
\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MT} = (2)(-2) + (0)(2) + (-2)(0) = -4
\]

Подставляя значения в формулу для косинуса угла, получаем:

\[
\cos \theta = \frac{-4}{(2\sqrt{2})(2\sqrt{2})} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}
\]

Теперь найдем градусную меру угла \(\theta\) с помощью арккосинуса:

\[
\theta = \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) \approx 120^\circ
\]

Итак, градусная мера угла М равна приблизительно \(120^\circ\).