Какова градусная мера третьей дуги и углы треугольника abc, если треугольник abc вписан в окружность и две другие дуги

Дано:

\(\angle ab = 90^\circ\) - мера дуги, через которую проходит сторона ab треугольника abc.

\(\angle bc = 160^\circ\) - мера дуги, через которую проходит сторона bc треугольника abc.

Мы ищем:

1. Градусную меру третьей дуги, через которую проходит сторона ac треугольника abc.
2. Углы треугольника abc.

Решение:

Первым шагом в этой задаче является понимание основного свойства треугольника, вписанного в окружность. Это свойство гласит, что центр окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника abc.

Для нахождения градусной меры третьей дуги, через которую проходит сторона ac, мы можем воспользоваться следующим наблюдением: сумма мер дуг, образованных этими сторонами, равна 360°.

Следовательно, градусная мера третьей дуги будет равной:

\[\text{Мера дуги через ac} = 360^\circ - \text{Мера дуги через ab} - \text{Мера дуги через bc}\]

\[\text{Мера дуги через ac} = 360^\circ - 90^\circ - 160^\circ\]

\[\text{Мера дуги через ac} = 110^\circ\]

Таким образом, градусная мера третьей дуги, через которую проходит сторона ac, составляет 110°.

Теперь мы можем найти углы треугольника abc. Поскольку треугольник abc вписан в окружность, сумма мер углов треугольника должна быть равна 180°.

Обозначим углы треугольника abc как \(\angle a\), \(\angle b\) и \(\angle c\).

Используя свойства вписанного треугольника и равенства суммы углов треугольника 180°, мы можем записать следующую систему уравнений:

\(\angle a + \angle b + \angle c = 180^\circ\)

\(\angle a + \angle b = 90^\circ\) (так как \(\angle ab\) является прямым углом)

Мы можем решить эту систему уравнений для нахождения значений углов треугольника abc.

Вычтем из первого уравнения второе:

\(\angle a + \angle b + \angle c - (\angle a + \angle b) = 180^\circ - 90^\circ\)

\(\angle c = 90^\circ\)

Таким образом, угол c треугольника abc равен 90°.

Подставим это значение в первое уравнение:

\(\angle a + \angle b + 90^\circ = 180^\circ\)

\(\angle a + \angle b = 90^\circ\)

У нас уже есть это соотношение, так как \(\angle ab\) является прямым углом.

Следовательно, угол a и угол b треугольника abc будут составлять 45° каждый.

Итак, градусная мера третьей дуги, через которую проходит сторона ac треугольника abc, равна 110°. Углы треугольника abc равны 45°, 45° и 90°.