Какова градусная мера наибольшего угла в треугольнике МНК с длинами сторон 5

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать теорему косинусов. Данная теорема позволяет нам найти градусную меру угла треугольника, зная длины его сторон.

Теорема косинусов формулируется следующим образом:
В треугольнике с сторонами \(a\), \(b\) и \(c\) и противолежащими им углами \(A\), \(B\) и \(C\) соответственно, квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус их общего угла. Или в математической форме:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\]

В нашем случае, длины сторон треугольника МНК заданы, и составляют 5.

Теперь, мы должны найти противолежащий наибольшему углу угол \(C\), так как мы ищем градусную меру самого большого угла в треугольнике.

Подставляя известные значения в теорему косинусов, получаем:

\[c^2 = 5^2 + b^2 - 2 \cdot 5 \cdot b \cdot \cos(C)\]

Теперь мы можем решить данное уравнение относительно косинуса угла \(C\):

\[b^2 - 10b\cos(C) + 25 - c^2 = 0\]

Так как угол \(C\) должен быть наибольшим, то косинус этого угла должен быть наименьшим возможным. Косинус может находиться в пределах от -1 до 1, поэтому у нас будет \(b\cos(C)\geqslant-1\), чтобы это условие было соблюдено, коэффициент при \(b^2\) должен быть положительным, а при \(b\) - отрицательным.

Исходя из этого, мы можем получить два возможных значения для косинуса угла \(C\), когда коэффициенты при \(b^2\) и \(b\) противоположны по знаку. Это означает, что у нас будет два уравнения:

\[b^2 + 10b\cos(C) + 25 - c^2 = 0\] и \[b^2 - 10b\cos(C) + 25 - c^2 = 0\]

Теперь мы можем решить каждое уравнение относительно \(b\). Решение будет представлено в виде квадратного уравнения. Используя квадратную формулу \(x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\), где у нас будут:

\[b = \frac{{-10\cos(C) \pm \sqrt{{100\cos^2(C) - 4(25 - c^2)}}}}{{2}}\]

Теперь мы можем продолжить, подставив эти значения в уравнение чтобы найти градусную меру наибольшего угла треугольника.