Какова градусная мера дуги сектора и радиус круга, если длина дуги равна 2 П см, а площадь сектора составляет 8 П см^2?

Хорошо, для решения данной задачи воспользуемся формулами и свойствами сектора круга.

Пусть р радиус круга, а α - градусная мера дуги сектора. Длина дуги сектора можно выразить как:
\[L = \frac{2\pi r \cdot \alpha}{360^\circ}\]

Площадь сектора круга можно выразить как:
\[S = \frac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^\circ}\]

У нас есть данные, что длина дуги равна \(2\pi\) см и площадь сектора составляет \(8\pi\) квадратных см. Подставим эти значения в формулы и решим уравнения.

Для длины дуги:
\[2\pi = \frac{2\pi r \cdot \alpha}{360^\circ}\]

Для площади сектора:
\[8\pi = \frac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^\circ}\]

Давайте решим уравнение для длины дуги сектора:
\[2\pi = \frac{2\pi r \cdot \alpha}{360^\circ}\]

Перемножим обе части уравнения на \(\frac{360^\circ}{2\pi}\) и получим:
\[2\pi \cdot \frac{360^\circ}{2\pi} = r \cdot \alpha\]

Упростим выражение и получим:
\[360^\circ = r \cdot \alpha\]

Теперь решим уравнение для площади сектора:
\[8\pi = \frac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^\circ}\]

Перемножим обе части уравнения на \(\frac{360^\circ}{\pi}\) и получим:
\[8\pi \cdot \frac{360^\circ}{\pi} = r^2 \cdot \alpha\]

Упростим выражение и получим:
\[2880^\circ = r^2 \cdot \alpha\]

Итак, у нас есть два уравнения:

\[360^\circ = r \cdot \alpha\]
\[2880^\circ = r^2 \cdot \alpha\]

Давайте разрешим первое уравнение относительно α:
\[\alpha = \frac{360^\circ}{r}\]

Подставим это значение α во второе уравнение:
\[2880^\circ = r^2 \cdot \frac{360^\circ}{r}\]

Cократим единицы измерения и получим:
\[8 = r \cdot 360\]

Разделим обе части уравнения на 360 и получим:
\[r = \frac{8}{360}\]

Упростим выражение и получим:
\[r = \frac{1}{45}\]

Теперь, когда у нас есть значение r, мы можем вычислить α с помощью первого уравнения:
\[\alpha = \frac{360^\circ}{r} = 360^\circ \cdot 45 = 16200^\circ\]

Итак, градусная мера дуги сектора равна 16200°, а радиус круга равен \(\frac{1}{45}\) см.