Какова глубина реки, если человеку, смотрящему вниз вертикально, камень кажется находящимся на глубине h=1м? Учитывая

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться законом преломления света Снеллиуса и применить аппроксимацию для малых углов. Давайте разберемся подробнее.

Закон Снеллиуса утверждает, что отношение синуса угла падения света к синусу угла преломления равно отношению показателей преломления: $\frac{\sin {\alpha }_1}{\sin {\alpha }_2}=\frac{n_2}{n_1}$, где ${\alpha }_1$ - угол падения света, ${\alpha }_2$ - угол преломления, $n_1$ - показатель преломления среды, из которой свет падает, и $n_2$ - показатель преломления среды, в которую свет преломляется.

В данной задаче мы знаем, что свет преломляется в воде, а показатель преломления воды $n=1.33$. Также у нас есть данный, что камень кажется находящимся на глубине $h=1$ м.

Поскольку нам нужно найти глубину реки, возьмем следующую систему отсчета:

- $h$ - искомая глубина реки,
- $h"$ - глубина воды,
- $h""$ - глубина камня.

Тогда, когда мы смотрим вниз вертикально, луч света падает перпендикулярно поверхности воды, поэтому у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой $h"$ и катетом $h""$. Для такого треугольника синус угла ${\alpha }_1$ равен отношению катета к гипотенузе: $\sin {\alpha }_1=\frac{h""}{h"}$.

Применяя аппроксимацию для малых углов, мы получаем $\sin {\alpha }_1\approx \tan {\alpha }_1$. Таким образом, $\tan {\alpha }_1=\frac{h""}{h"}$.

Теперь мы можем применить закон Снеллиуса к границе воздух-вода:

$\frac{\sin {\alpha }_1}{\sin {\alpha }_2}=\frac{n}{1}$, где $n=1.33$ - показатель преломления воды.

С учетом аппроксимации $\sin {\alpha }_1\approx \tan {\alpha }_1$ получаем:

$\frac{\tan {\alpha }_1}{\sin {\alpha }_2}=1.33$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный поверхностью воды, нормалью к поверхности воды и лучом света, преломляющимся на границе воздух-вода. В этом треугольнике у нас имеется противолежащий катет длины $h""$ и гипотенуза длины $h"$, поэтому:

$\sin {\alpha }_2=\frac{h""}{h"}$.

Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем:

$\frac{\tan {\alpha }_1}{\frac{h""}{h"}}=1.33$.

Таким образом, получаем:

$\tan {\alpha }_1=1.33\cdot \frac{h""}{h"}$.

Вспоминая, что $\tan {\alpha }_1=\frac{h""}{h"}$, подставим это обратно в уравнение:

$\frac{\frac{h""}{h"}}{\frac{h""}{h"}}=1.33$.

Так как $\frac{h""}{h""}=1$, мы имеем:

$\frac{1}{h"}=1.33$.

Отсюда получаем:

$h"=\frac{1}{1.33}$.

Следовательно, глубина воды $h"$ равна примерно $0.75$ метра. Так как глубина камня равна $h""=1$ метр, глубина реки, как искомая величина $h$, будет равна разности между глубиной воды и глубиной камня:

$h=h"-h""=0.75-1=-0.25$ метра.

Итак, получаем, что глубина реки равна примерно $-0.25$ метра. Ответ будет отрицательным, так как он указывает на то, что камень находится над уровнем воды.