Какова глубина реки, если человеку, смотрящему вниз вертикально, камень кажется находящимся на глубине h=1м? Учитывая

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться законом преломления света Снеллиуса и применить аппроксимацию для малых углов. Давайте разберемся подробнее.

Закон Снеллиуса утверждает, что отношение синуса угла падения света к синусу угла преломления равно отношению показателей преломления: \(\frac{{\sin \alpha_1}}{{\sin \alpha_2}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}\), где \(\alpha_1\) - угол падения света, \(\alpha_2\) - угол преломления, \(n_1\) - показатель преломления среды, из которой свет падает, и \(n_2\) - показатель преломления среды, в которую свет преломляется.

В данной задаче мы знаем, что свет преломляется в воде, а показатель преломления воды \(n = 1.33\). Также у нас есть данный, что камень кажется находящимся на глубине \(h = 1\) м.

Поскольку нам нужно найти глубину реки, возьмем следующую систему отсчета:

- \(h\) - искомая глубина реки,
- \(h"\) - глубина воды,
- \(h""\) - глубина камня.

Тогда, когда мы смотрим вниз вертикально, луч света падает перпендикулярно поверхности воды, поэтому у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой \(h"\) и катетом \(h""\). Для такого треугольника синус угла \(\alpha_1\) равен отношению катета к гипотенузе: \(\sin \alpha_1 = \frac{{h""}}{{h"}}\).

Применяя аппроксимацию для малых углов, мы получаем \(\sin \alpha_1 \approx \tan \alpha_1\). Таким образом, \(\tan \alpha_1 = \frac{{h""}}{{h"}}\).

Теперь мы можем применить закон Снеллиуса к границе воздух-вода:

\(\frac{{\sin \alpha_1}}{{\sin \alpha_2}} = \frac{{n}}{{1}}\), где \(n = 1.33\) - показатель преломления воды.

С учетом аппроксимации \(\sin \alpha_1 \approx \tan \alpha_1\) получаем:

\(\frac{{\tan \alpha_1}}{{\sin \alpha_2}} = 1.33\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный поверхностью воды, нормалью к поверхности воды и лучом света, преломляющимся на границе воздух-вода. В этом треугольнике у нас имеется противолежащий катет длины \(h""\) и гипотенуза длины \(h"\), поэтому:

\(\sin \alpha_2 = \frac{{h""}}{{h"}}\).

Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем:

\(\frac{{\tan \alpha_1}}{{\frac{{h""}}{{h"}}}} = 1.33\).

Таким образом, получаем:

\(\tan \alpha_1 = 1.33 \cdot \frac{{h""}}{{h"}}\).

Вспоминая, что \(\tan \alpha_1 = \frac{{h""}}{{h"}}\), подставим это обратно в уравнение:

\(\frac{{\frac{{h""}}{{h"}}}}{{\frac{{h""}}{{h"}}}} = 1.33\).

Так как \(\frac{{h""}}{{h""}} = 1\), мы имеем:

\(\frac{{1}}{{h"}} = 1.33\).

Отсюда получаем:

\(h" = \frac{{1}}{{1.33}}\).

Следовательно, глубина воды \(h"\) равна примерно \(0.75\) метра. Так как глубина камня равна \(h"" = 1\) метр, глубина реки, как искомая величина \(h\), будет равна разности между глубиной воды и глубиной камня:

\(h = h" - h"" = 0.75 - 1 = -0.25\) метра.

Итак, получаем, что глубина реки равна примерно \(-0.25\) метра. Ответ будет отрицательным, так как он указывает на то, что камень находится над уровнем воды.