Какова форма графика функции y=6x-x²? Каким образом можно определить множество решений неравенства 6x-x²≥0, используя

Конечно! Перейдем к анализу задачи поэтапно.

1. Форма графика функции \(y=6x-x^2\):

Для начала, давайте построим график данной функции. Как вы знаете, график функции представляет собой множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Для удобства проведения графика, рассмотрим исходное уравнение \(y=6x-x^2\) в канонической форме, где множитель перед \(x^2\) отрицательный. Это позволяет нам выделить особенности графика, такие как вершина параболы и направление его выпуклости.

2. Выделение характеристик графика:

Для начала, найдем вершину параболы. В уравнении \(y=6x-x^2\), коэффициент при \(x\) равен \(-1\), а коэффициент перед \(x^2\) равен \(-1\). Формула для координат вершины параболы имеет вид: \(x_v = -\frac{b}{2a}\), \(y_v = f(x_v)\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты при \(x^2\) и \(x\) соответственно.

Подставляя значения коэффициентов в формулу, получаем: \(x_v = -\frac{-1}{2\cdot(-1)} = \frac{1}{2}\). Для нахождения \(y_v\) подставим \(x_v\) обратно в уравнение и вычислим: \(y_v = 6\cdot\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 3 - \frac{1}{4} = \frac{11}{4}\).

Таким образом, вершина параболы имеет координаты \(\left(\frac{1}{2}, \frac{11}{4}\right)\). Она является точкой, где график функции достигает экстремума.

3. Построение графика функции:

Чтобы построить график функции \(y=6x-x^2\), используем полученные характеристики. Начнем с вершины параболы и продолжим её разбивая отрезок на несколько частей, подставляя различные значения \(x\) и вычисляя соответствующие значения \(y\).

Таблица значений:

\[
\begin{align*}
x & \quad y \\
0 & \quad 0 \\
\frac{1}{2} & \quad \frac{11}{4} \\
1 & \quad 5 \\
2 & \quad 4 \\
\end{align*}
\]

Заметим, что координаты вершины (0,0), вершины параболы (\(\frac{1}{2}, \frac{11}{4}\)) и симметричной координаты (1,5) создают изображение параболы, которая полностью открывается вверх.

4. Определение множества решений неравенства \(6x-x^2 \geq 0\) с использованием графика:

Чтобы определить множество решений неравенства \(6x-x^2 \geq 0\) с использованием графика, нам необходимо найти интервалы значений \(x\), где график находится (1) выше оси OX (положительные значения функции), (2) на оси OX (нулевые значения функции), или (3) ниже оси OX (отрицательные значения функции).

Из графика функции \(y=6x-x^2\) видно, что функция положительна в интервалах \(x \in (-\infty, 0)\) и \(x \in (4, +\infty)\), ноль на интервале \(x = [0, 4]\), и отрицательна на интервале \(x \in (0, 4)\).

Таким образом, множество решений неравенства \(6x-x^2 \geq 0\) можно определить как интервалы \(x \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty)\).

5. Количество натуральных решений неравенства:

Количество натуральных решений неравенства \(6x-x^2 \geq 0\) равно количеству точек пересечения графика функции \(y=6x-x^2\) с осью OX, так как нам интересны только значения \(x\), при которых \(y \geq 0\).

Из графика видно, что график \(y=6x-x^2\) пересекает ось OX дважды, в точках \((0, 0)\) и \((4, 0)\).

Таким образом, неравенство \(6x-x^2 \geq 0\) имеет два натуральных решения, \(x = 0\) и \(x = 4\).

Теперь у тебя есть полный и подробный ответ на задачу! Если у тебя возникнут ещё вопросы, не стесняйся задать их. Я всегда готов помочь!