Какова эквивалентная емкость для двух аналогичных цилиндрических конденсаторов, у которых радиусы металлических

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться формулой для расчета емкости конденсатора, а именно:

\[C = \frac{{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot S}}{{l}}\]

где:
\(C\) - емкость конденсатора,
\(\varepsilon_0\) - электрическая постоянная (\(\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \,Ф/м\)),
\(\varepsilon_r\) - диэлектрическая проницаемость,
\(S\) - площадь поперечного сечения конденсатора,
\(l\) - расстояние между пластинами.

Для параллельного соединения конденсаторов их эквивалентная емкость может быть найдена по формуле:

\[\frac{1}{C_{\text{экв}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\]

где \(C_1\) и \(C_2\) - емкости параллельно соединенных конденсаторов.

Для начала найдем емкости \(C_1\) и \(C_2\) для каждого конденсатора, используя формулу емкости конденсатора:

Для конденсатора 1 (\(R_1 = 2 \,см\)):

\[S_1 = \pi \cdot (R_1^2 - r^2) = 3.14 \cdot (2^2 - 0^2) \,см^2 = 12.56 \,см^2\]

где \(r\) - радиус цилиндра, находящегося внутри металлического цилиндра (в данном случае равен 0, так как внутреннего цилиндра нет).

\[C_1 = \frac{{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot S_1}}{{l}} = \frac{{8.85 \times 10^{-12} \,Ф/м \cdot 7 \cdot 12.56 \,см^2}}{{5 \,см}}\]

\[C_1 = \frac{{8.85 \times 10^{-12} \cdot 7 \cdot 12.56}}{{5}} = 1.78 \times 10^{-10} \,Ф\]

Аналогично для конденсатора 2 (\(R_2 = 3 \,см\)):

\[S_2 = \pi \cdot (R_2^2 - r^2) = 3.14 \cdot (3^2 - 0^2) \,см^2 = 28.26 \,см^2\]

\[C_2 = \frac{{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot S_2}}{{l}} = \frac{{8.85 \times 10^{-12} \,Ф/м \cdot 7 \cdot 28.26 \,см^2}}{{5 \,см}}\]

\[C_2 = \frac{{8.85 \times 10^{-12} \cdot 7 \cdot 28.26}}{{5}} = 3.13 \times 10^{-10} \,Ф\]

Теперь можем найти эквивалентную емкость \(C_{\text{экв}}\) для двух параллельно соединенных конденсаторов, используя формулу для параллельного соединения:

\[\frac{1}{C_{\text{экв}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\]

\[\frac{1}{C_{\text{экв}}} = \frac{1}{1.78 \times 10^{-10} \,Ф} + \frac{1}{3.13 \times 10^{-10} \,Ф}\]

\[\frac{1}{C_{\text{экв}}} \approx 5.29 \times 10^{-10} \,Ф\]

Наконец, найдем \(C_{\text{экв}}\) путем взятия обратного значения:

\[C_{\text{экв}} \approx \frac{1}{{5.29 \times 10^{-10} \,Ф}} \approx 1.89 \times 10^{-10} \,Ф\]

Таким образом, эквивалентная емкость для двух аналогичных цилиндрических конденсаторов, подключенных параллельно, составляет примерно \(1.89 \times 10^{-10} \,Ф\).