Какова должна быть высота подставки, чтобы шарик попал в мишень, если его запустили из игрушечной катапульты под углом

У нас есть ситуация, где шарик запускается из игрушечной катапульты под углом 45 ∘ к горизонту со скоростью 6 м/с и требуется вычислить высоту подставки, чтобы шарик попал в мишень, находящуюся на расстоянии 1,8 м. Для начала, давайте разобьем задачу на две составляющие: горизонтальную и вертикальную.

На горизонтальной плоскости шарик будет двигаться равномерно со скоростью 6 м/с, так как отсутствует сопротивление воздуха. Расстояние от точки запуска до мишени составляет 1,8 м, поэтому время полета шарика до мишени можно вычислить по формуле времени:

\[t = \dfrac{d}{v}\]

где \(t\) - время полета, \(d\) - расстояние и \(v\) - скорость.

Подставим известные значения:

\[t = \dfrac{1.8}{6} = 0.3\ м\]

Теперь рассмотрим вертикальную составляющую. Мы знаем, что шарик будет двигаться свободным падением под углом 45∘. Компонента вертикальной скорости при старте равна:

\[v_y = v \cdot \sin(\theta)\]

где \(v\) - скорость и \(\theta\) - угол.

Подставим известные значения:

\[v_y = 6 \cdot \sin(45∘) = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\ м/с\]

Используя уравнение падения свободного тела, можем найти время, за которое шарик достигнет мишени:

\[t = \dfrac{2 \cdot v_y}{g}\]

где \(g\) - ускорение свободного падения.

Подставим известные значения:

\[t = \dfrac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{9.8} \approx 0.3865\ с\]

Так как мы знаем время полета и горизонтальную скорость, мы можем найти расстояние, пройденное шариком во время полета:

\[d_x = v \cdot t\]

Подставим известные значения:

\[d_x = 6 \cdot 0.3 = 1.8\ м\]

Таким образом, мы получили, что шарик должен пролететь горизонтальное расстояние 1,8 м, чтобы попасть в мишень. Высота подставки будет определяться вертикальной составляющей движения шарика.

Рассмотрим вертикальное движение шарика. Мы можем выразить вертикальное перемещение шарика во время полета через следующую формулу:

\[h = v_y \cdot t - \dfrac{1}{2}gt^2\]

где \(h\) - высота подставки, \(v_y\) - вертикальная скорость, \(t\) - время полета, \(g\) - ускорение свободного падения.

Подставим известные значения:

\[h = 3\sqrt{2} \cdot 0.3 - \dfrac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot 0.3^2 \approx 0.2596\ м\]

Ответ округляем до десятых метра:

Высота подставки, чтобы шарик попал в мишень, округленная до десятых метра, составляет 0.3 метра.