Какова должна быть ширина верхней части желоба, если кровельщик стремится создать желоб максимальной вместимости с днем

Хорошо, давайте решим задачу о желобе с максимальной вместимостью. Для начала, давайте введем обозначения:

Пусть ширина верхней части желоба будет равна \(w\) (в метрах);
Ширина дна и боковых стенок желоба составляет 10 см, что равно 0.1 метра;
Пусть угол наклона боковых стенок желоба к дну будет равен \(\alpha\) (в радианах).

Теперь мы можем перейти к решению задачи. Для определения объема желоба, мы можем разделить его на три части: две треугольные (боковые стенки) и прямоугольную (дно).

Объем прямоугольной части желоба равен произведению ширины дна на его длину. Поскольку ширина дна равна 0.1 метра, этот объем равен \(0.1 \cdot \ell\), где \(\ell\) - длина желоба (в метрах).

Объем каждой треугольной стенки можно рассчитать, используя формулу для объема пирамиды: \(V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\), где \(S\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды.

Площадь основания пирамиды треугольной формы равна половине произведения длины основания и соответствующей высоты треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot w \cdot \ell\), где \(w\) - ширина верхней части желоба, а \(\ell\) - длина желоба.

Высота пирамиды в данном случае равна ширине дна (0.1 метра).

Таким образом, объем каждой треугольной стенки будет равен: \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot w \cdot \ell \cdot 0.1 = \frac{w \cdot \ell}{60}\).

Общий объем желоба равен сумме объемов трех его частей: \(V_{\text{желоба}} = 2 \cdot \frac{w \cdot \ell}{60} + 0.1 \cdot \ell \cdot w = \frac{w \cdot \ell}{30} + 0.1 \cdot \ell \cdot w\).

Наши цели - найти ширину верхней части желоба, при которой объем достигает максимального значения, а именно \(w\). Для этого нам понадобится найти максимум функции объема желоба.

Для нахождения точки максимума используем производную функции и равенство нулю: \(\frac{{dV_{\text{желоба}}}}{{dw}} = 0\).

Вычислим производную по \(w\):