Какова длина высоты в треугольнике ABC, если известно, что AC равно 13, BC равно 11 и AM равно

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства треугольников. Для начала, нам нужно вспомнить определение высоты треугольника.

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону. В данном случае, мы хотим найти длину высоты, опущенной из вершины A треугольника ABC.

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Давайте для начала обозначим длины сторон треугольника. Пусть AC = 13, BC = 11 и AM = x (AM - это часть высоты треугольника, проведенная из вершины A на сторону BC).

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника AMC (AM - это гипотенуза треугольника, AC - это один из катетов, CM - это другой катет). Теорема Пифагора гласит:

\[AC^2 = AM^2 + CM^2\]

Подставим известные значения. У нас AC = 13 и AM = x. Также, по определению высоты, CM = BM - x (BM - это другая часть стороны BC, разрезанная высотой AM).

\[13^2 = x^2 + (11 - x)^2\]

Раскроем скобки:

\[169 = x^2 + 121 - 22x + x^2\]

Соберем все члены с x в одну сторону:

\[0 = 2x^2 - 22x + 48\]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти решения. Формула дискриминанта имеет вид:

\[D = b^2 - 4ac\]

где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\). В нашем случае, a = 2, b = -22 и c = 48. Вычислим дискриминант:

\[D = (-22)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 48 = 484 - 384 = 100\]

Теперь, когда у нас есть значение дискриминанта, мы можем найти решения квадратного уравнения. Формула для нахождения решений имеет вид:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения:

\[x = \frac{-(-22) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 2} = \frac{22 \pm 10}{4}\]

Разложим на два возможных случая:

1. Положим знак "+" в формуле:

\[x = \frac{22 + 10}{4} = \frac{32}{4} = 8\]

2. Положим знак "-" в формуле:

\[x = \frac{22 - 10}{4} = \frac{12}{4} = 3\]

Так как AM - это длина части высоты, проведенной из вершины A, значение x = 3 не имеет геометрического смысла в данной задаче. Поэтому, мы выбираем решение x = 8.

Таким образом, длина высоты треугольника ABC, проведенной из вершины A, равна 8.