Докажите существование таких коэффициентов a, b, c, которые не все равны нулю, и для которых выполнено следующее

Для решения этой задачи, нам нужно установить условия, при которых будет выполняться равенство \(a\mathbf{k}+ b\mathbf{b}+ c\mathbf{p} = 0\). Здесь \(\mathbf{k}\), \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{p}\) - векторы, а \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты.

Давайте разберёмся, что представляют из себя векторы \(\mathbf{k}\), \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{p}\).

- Вектор \(\mathbf{k}\) представляет собой направление линии \(k\), проходящей через начало координат в трехмерном пространстве.
- Вектор \(\mathbf{b}\) - это направление вектора, ортогонального плоскости \(k\).
- Вектор \(\mathbf{p}\) - это нормаль к плоскости, образованной векторами \(\mathbf{k}\) и \(\mathbf{b}\).

Теперь вернемся к исходному уравнению \(a\mathbf{k}+ b\mathbf{b}+ c\mathbf{p} = 0\). Идея заключается в том, чтобы выбрать такие значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\), чтобы левая часть равенства была равна нулю и выполнялось условие \(a \neq 0\), \(b \neq 0\), \(c \neq 0\).

Введём следующую нотацию: пусть \(\mathbf{k} = (k_1, k_2, k_3)\), \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)\) и \(\mathbf{p} = (p_1, p_2, p_3)\). Тогда уравнение примет вид:

\(a(k_1, k_2, k_3) + b(b_1, b_2, b_3) + c(p_1, p_2, p_3) = (0, 0, 0)\)

Раскрывая скобки, получим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
ak_1 + bb_1 + cp_1 = 0 \\
ak_2 + bb_2 + cp_2 = 0 \\
ak_3 + bb_3 + cp_3 = 0 \\
\end{cases}
\]

Данная система содержит 3 уравнения и 3 неизвестных. Таким образом, чтобы найти коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\), нужно решить эту систему.

Решение системы уравнений зависит от конкретных значений векторов \(\mathbf{k}\), \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{p}\). В общем случае, если векторы \(\mathbf{k}\), \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{p}\) являются линейно независимыми, то они определяют какое-то трехмерное пространство, и, следовательно, существуют такие ненулевые коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\), для которых выполняется равенство \(a\mathbf{k}+ b\mathbf{b}+ c\mathbf{p} = 0\).

Однако, если векторы \(\mathbf{k}\), \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{p}\) являются линейно зависимыми, то есть один из них может быть выражен через два других, то в общем случае равенство \(a\mathbf{k}+ b\mathbf{b}+ c\mathbf{p} = 0\) не будет выполняться для любых ненулевых коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).

Итак, доказывать существование таких коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\), для которых выполняется равенство \(a\mathbf{k}+ b\mathbf{b}+ c\mathbf{p} = 0\), мы можем только в случае, когда векторы \(\mathbf{k}\), \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{p}\) образуют некоторое трехмерное пространство. При этом, если векторы линейно зависимы, то данное равенство не будет выполняться.