Какова длина высоты, опущенной из вершины треугольника с координатами a(2; 1); b(-2; -2); c(-8

Чтобы найти длину высоты, опущенной из вершины треугольника, нам понадобится использовать геометрические свойства треугольников. Давайте разберемся пошагово.

1. Начнем с построения треугольника ABC с указанными координатами: A(2, 1), B(-2, -2) и C(-8, 4). Нарисуем эти точки на графике:

\[
\begin{array}{ccc}
& & C(-8, 4) \\
& & \\
A(2, 1) & & \\
& & \\
& & B(-2, -2)
\end{array}
\]

2. Далее, нарисуем отрезки AB, BC и AC, чтобы получить треугольник ABC:

\[
\begin{array}{ccc}
& & C(-8, 4) \\
& & \\
A(2, 1) & \longrightarrow & B(-2, -2) \\
& & \\
& & \\
& & \\
& \longleftarrow & \\
& A"B"
\end{array}
\]

3. В следующем шаге мы должны построить высоту из вершины A. Высота проводится перпендикулярно стороне BC и проходит через вершину A. Построим эту высоту и обозначим точку пересечения с отрезком BC как точку A":

\[
\begin{array}{ccc}
& & C(-8, 4) \\
& & \\
A(2, 1) & \longrightarrow & B(-2, -2) \\
& & \\
& & \\
& \longleftarrow & \\
& A"B"
\end{array}
\]

4. Найдем перпендикулярный вектор к стороне BC. Для этого найдем вектор, перпендикулярный BC, используя его координаты (-2 - (-8), -2 - 4), что дает (-6, -6).

5. Теперь нам нужно найти точку A", пересечение высоты и стороны BC. Для этого используем уравнение прямой, проходящей через точку B(-2, -2) и имеющей направляющий вектор (-6, -6). Подставим координаты B и уравнение в общую формулировку уравнения прямой (y - y1) = k(x - x1). Полученное уравнение будет:

(y - (-2)) = \(\frac{-6}{-6}\)(x - (-2))

y + 2 = x + 2

y = x

6. Найдем точку пересечения A" путем решения системы уравнений BC и прямой y = x:

BC: y + 2 = \(\frac{-4}{-6}\)(x + 2)

y + 2 = \(\frac{2}{3}\)(x + 2)

\(\frac{2}{3}\)(x + 2) - (y + 2) = 0

y = x

7. Решая эту систему уравнений, мы найдем точку пересечения A"(-3, -3):

\[
\begin{array}{ccc}
& C(-8, 4) \\
& \\
A(2, 1) & \longrightarrow & B(-2, -2) \\
& \\
& \longleftarrow & \\
& A"(-3, -3)
\end{array}
\]

8. Теперь мы можем измерить длину стороны AA", чтобы найти длину высоты из вершины A. Используя формулу расстояния между двумя точками:

d = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

d = \(\sqrt{(-3 - 2)^2 + (-3 - 1)^2}\)

d = \(\sqrt{(-5)^2 + (-4)^2}\)

d = \(\sqrt{25 + 16}\)

d = \(\sqrt{41}\)

Таким образом, длина высоты, опущенной из вершины треугольника ABC с указанными координатами, равна \(\sqrt{41}\).