Какова длина высоты AH прямоугольного треугольника ABC, если известно, что длина гипотенузы BC составляет 20 см и длина

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать теорему Пифагора. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В данной задаче, гипотенуза треугольника BC равна 20 см. Пусть длина катета AB равна x см, а длина катета AC равна y см. Мы ищем длину высоты AH треугольника ABC.

Применим теорему Пифагора к треугольнику ABC:
\[AC^2 + AB^2 = BC^2\]

Заметим, что высота AH перпендикулярна стороне BC и является частью катета AC. То есть, длина отрезка HC равна y - AH.

Теперь, используем теорему Пифагора для треугольника AHC:
\[AH^2 + (y - AH)^2 = AB^2\]

Разложим второе слагаемое на правой части уравнения:

\[AH^2 + y^2 - 2yAH + AH^2 = AB^2\]

Объединим слагаемые с одинаковыми степенями AH:

\[2AH^2 - 2yAH + y^2 = AB^2\]

Теперь подставим значение BC^2 в уравнение:

\[2AH^2 - 2yAH + y^2 = 20^2\]

Упростим данное уравнение:

\[2AH^2 - 2yAH + y^2 = 400\]

Теперь решим данное уравнение относительно AH. Для этого приведем его к виду стандартного квадратного уравнения и решим его с помощью дискриминанта.

\[2AH^2 - 2yAH + y^2 - 400 = 0\]

Обозначим коэффициенты уравнения следующим образом:
\[a = 2, b = -2y, c = y^2 - 400\]

Найдем дискриминант по формуле:
\[D = b^2 - 4ac\]

\[D = (-2y)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (y^2 - 400)\]

\[D = 4y^2 - 8(y^2 - 400)\]

\[D = 4y^2 - 8y^2 + 3200\]

\[D = -4y^2 + 3200\]

Теперь решим уравнение с помощью дискриминанта. Для этого нам понадобится формула для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

В нашем случае:
\[AH = \frac{-(-2y) \pm \sqrt{-4y^2 + 3200}}{2 \cdot 2}\]

\[AH = \frac{2y \pm \sqrt{-4y^2 + 3200}}{4}\]

\[AH = \frac{y \pm \sqrt{-y^2 + 800}}{2}\]

Теперь мы можем найти два возможных значения длины высоты AH, заменив y на известное значение длины отрезка HC.