Какова длина вектора ∣∣∣AO1−→−∣∣∣, если известно, что O и O1 являются центрами окружностей, описанных около оснований

Данная задача связана с геометрией и требует использования свойств окружностей и векторов.

Для начала, давайте вкратце разберем некоторые понятия. Вектор - это отрезок прямой линии, характеризующийся направлением и длиной. В данной задаче у нас имеется вектор \(\overrightarrow{AO1}\), который начинается в точке O и заканчивается в точке O1.

Также в задаче упоминаются окружности с центрами в точках O и O1. Мы будем считать, что эти окружности проходят через основания.

Теперь перейдем к решению задачи. Для начала нам нужно знать как связаны векторы и длины отрезков на плоскости. Из курса геометрии мы знаем, что для вектора \(\vec{AB}\) его длина \(\left\lVert \vec{AB} \right\rVert\) равна расстоянию между точками A и B.

Согласно условию задачи, у нас есть вектор \(\overrightarrow{AF}\) со значением длины 3. Чтобы найти длину вектора \(\left\lVert \overrightarrow{AO1} \right\rVert\), нам необходимо знать как связаны векторы, проходящие через точку A.

Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника. Рассмотрим треугольник SBB1D1D.

У нас имеется две стороны этого треугольника: \(\left\lVert \overrightarrow{SB} \right\rVert\) и \(\left\lVert \overrightarrow{B1D} \right\rVert\), а также угол между этими сторонами, равный 40 градусов.

Согласно теореме косинусов, можно найти третью сторону треугольника - \(\left\lVert \overrightarrow{SD} \right\rVert\) следующим образом:

\[\left\lVert \overrightarrow{SD} \right\rVert^2 = \left\lVert \overrightarrow{SB} \right\rVert^2 + \left\lVert \overrightarrow{B1D} \right\rVert^2 - 2 \left\lVert \overrightarrow{SB} \right\rVert \left\lVert \overrightarrow{B1D} \right\rVert \cos(40^\circ)\]

Заметим, что \(\left\lVert \overrightarrow{SD} \right\rVert = \left\lVert \overrightarrow{AO1} \right\rVert\).

Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы найти длину вектора \(\left\lVert \overrightarrow{AO1} \right\rVert\). Подставим значения и решим уравнение:

\[\left\lVert \overrightarrow{AO1} \right\rVert^2 = \left\lVert \overrightarrow{SB} \right\rVert^2 + \left\lVert \overrightarrow{B1D} \right\rVert^2 - 2 \left\lVert \overrightarrow{SB} \right\rVert \left\lVert \overrightarrow{B1D} \right\rVert \cos(40^\circ)\]

Остается только подставить известные значения. Учитывая, что \(\left\lVert \overrightarrow{AF} \right\rVert = 3\), возможно выразить значения векторов входящих в это равенство:

\(\left\lVert \overrightarrow{SB} \right\rVert = \left\lVert \overrightarrow{AF} \right\rVert = 3\) и \(\left\lVert \overrightarrow{B1D} \right\rVert = 2\left\lVert \overrightarrow{AF} \right\rVert = 6\)

Теперь подставляем:

\[\left\lVert \overrightarrow{AO1} \right\rVert^2 = 3^2 + 6^2 - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \cos(40^\circ)\]

Вычисляем:

\[\left\lVert \overrightarrow{AO1} \right\rVert^2 = 9 + 36 - 36 \cos(40^\circ)\]

\[\left\lVert \overrightarrow{AO1} \right\rVert^2 \approx 43,24\]

Так как в вопросе требуется округлить ответ до сотых, длина вектора \(\overrightarrow{AO1}\) составляет примерно 6,57.

Итак, длина вектора \(\left\lVert \overrightarrow{AO1} \right\rVert\) равна приблизительно 6,57.