Какова длина третьей стороны равнобедренного треугольника, если две известные стороны равны 6 см и

Для решения этой задачи нам необходимо использовать свойство равнобедренного треугольника. Равнобедренный треугольник имеет две одинаковые стороны и две равные углы, расположенные напротив этих сторон.

По условию задачи у нас уже известны две стороны равные 6 см. Пусть эти стороны обозначены буквой \(a\), а третья сторона будет обозначена буквой \(c\). Наша задача - найти значение стороны \(c\).

Для решения задачи, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Теорема косинусов устанавливает связь между длинами сторон треугольника и значениями его углов. Формула теоремы косинусов выглядит следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma)\]

Где \(a\) и \(b\) - известные стороны треугольника, а \(\gamma\) - угол между этими сторонами.

В нашем случае, у нас равнобедренный треугольник, поэтому углы между сторонами \(a\) и \(b\) равны. Значит, \(\gamma\) будет равна углу при основании равнобедренного треугольника.

Чтобы решить задачу, нам нужно узнать значение угла при основании равнобедренного треугольника. Для этого, мы можем воспользоваться теоремой о сумме углов треугольника.

В треугольнике сумма углов равна 180 градусам. У нас есть два равных угла, поэтому мы можем найти значение угла при основании, используя следующую формулу:

\[\gamma = \frac{180 - 2\alpha}{2}\]

Где \(\alpha\) - значение одного из равных углов.

После того, как мы найдем значение угла \(\gamma\), мы сможем подставить его в формулу теоремы косинусов и найти значение стороны \(c\).

Давайте приступим к решению задачи. Пусть \(\alpha\) будет углом при основании нашего треугольника.

Для начала найдем значение угла \(\gamma\):

\[\gamma = \frac{180 - 2\alpha}{2}\]

Теперь, зная значение угла \(\gamma\), мы можем подставить его в формулу теоремы косинусов:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma)\]

\[c^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(\gamma)\]

Теперь нам нужно найти значение \(\cos(\gamma)\). Для этого, мы можем воспользоваться соотношением между катетом и гипотенузой в прямоугольном треугольнике. В нашем случае, катетом будет сторона равная 6 см, а гипотенуза будет сторона \(c\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором катеты равны 6 см, а гипотенуза равна \(c\). По теореме Пифагора, у нас будет следующее равенство:

\[c^2 = 6^2 + 6^2\]

Теперь у нас есть два выражения для \(c^2\):

\[c^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(\gamma)\]
\[c^2 = 6^2 + 6^2\]

Объединим эти выражения:

\[6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(\gamma) = 6^2 + 6^2\]

Вычислим каждое выражение:

\[36 + 36 - 72 \cdot \cos(\gamma) = 36 + 36\]
\[72 - 72 \cdot \cos(\gamma) = 72\]

После сокращений:

\[-72 \cdot \cos(\gamma) = 0\]

Теперь решим полученное уравнение. У нас умножение на отрицательное число, значит \(\cos(\gamma)\) должно быть равно 0:

\[\cos(\gamma) = 0\]

Значит угол \(\gamma\) равен 90 градусов, что означает, что треугольник является прямоугольным.

Используя это же значение угла \(\gamma\), мы можем подставить его в формулу теоремы косинусов и найти значение стороны \(c\):

\[c^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(90)\]
\[c^2 = 36 + 36 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 0\]
\[c^2 = 36 + 36\]
\[c^2 = 72\]

Отсюда получаем:

\[c = \sqrt{72}\]

Обратите внимание, что мы выбрали положительное значение для стороны \(c\), так как длина не может быть отрицательной.

Таким образом, третья сторона равнобедренного треугольника будет равна \(\sqrt{72}\) см.