Какова длина стороны треугольника, противолежащей углу, если диаметр окружности равен 6 см, а один из углов вписанного

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать знания о свойствах вписанного треугольника и диаметра окружности.

Внутри окружности, треугольник, у которого один из углов является вписанным, образует центральный угол, величина которого вдвое больше подвохающего этот угол угла на окружности. В нашем случае, задача говорит нам, что один из углов вписанного треугольника составляет 30°, так что величина соответствующего центрального угла будет равна 2*30° = 60°.

Нам также известно, что диаметр окружности равен 6 см. Диаметр - это отрезок, который соединяет две точки на окружности через ее центр, и он также является основанием прямоугольного треугольника внутри окружности, где радиус является одним из его катетов.

Мы можем воспользоваться своиствами прямоугольного треугольника, так что отметим, что поверхность окружности делится диаметром на две равные части и представим два равнобедренных треугольника. Каждый из этих равнобедренных треугольников имеет угол на вершине равный 60°.

Мы можем использовать тригонометрию, а именно теорему синусов, чтобы найти длину стороны треугольника, противолежащей углу.

Пусть \( a \) - длина стороны треугольника, противолежащей углу 30°.
Также пусть \( c \) - длина стороны треугольника, являющейся диаметром окружности, равной 6 см.

Тогда мы можем записать соотношение для треугольника:

\[
\frac{a}{\sin(30°)} = \frac{c}{\sin(60°)}
\]

Подставляем известные значения:

\[
\frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
\]

Упростим выражение:

\[
a = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \times \frac{2}{1}
\]

Домножая числитель и знаменатель на 2, мы получаем:

\[
a = \frac{6 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}
\]

Таким образом, длина стороны треугольника, противолежащей углу 30°, равна \(4\sqrt{3}\) см.

Проверим наше решение. Мы знаем, что соотношение сторон в равностороннем треугольнике равно \(\frac{a}{b}{c} = 1:1:1\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника. В нашем решении, длина стороны \(a\) равна \(4\sqrt{3}\) см, а диаметр окружности - \(6\) см. Деление \(4\sqrt{3}\) на \(6\) даст нам \(\frac{2}{\sqrt{3}}\), что можно упростить до \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\). Это соотношение действительно определяет равносторонний треугольник с углом \(30°\), так что наше решение верно.