Какова длина стороны правильного восьмиугольника, вписанного в окружность, если периметр правильного треугольника

Для начала рассмотрим правильный треугольник, вписанный в окружность. Зная, что периметр этого треугольника равен \(P_t\), задача состоит в определении длины стороны правильного восьмиугольника, вписанного в эту же окружность.

Правильный треугольник вписан в окружность, что означает, что его вершины лежат на окружности. Радиус окружности равен половине длины стороны треугольника (половина отрезка, соединяющего центр окружности с одной из ее вершин) и обозначим его как \(R\).

Пусть сторона треугольника равна \(a\), а его периметр равен \(P_t\). Так как треугольник правильный, все его стороны равны \(a\).

При этом, известно, что периметр треугольника связан с его стороной \(a\) следующим образом: \(P_t = 3a\).

Теперь подумаем о восьмиугольнике. Восьмиугольник также вписан в эту окружность и его вершины лежат на окружности. Для определения его длины стороны, обозначим ее как \(b\), мы можем использовать радиус окружности.

Для каждой вершины восьмиугольника, вершина треугольника, соединенная с центром окружности и вершина восьмиугольника, лежат на одной прямой, так как сторона восьмиугольника является хордой этой окружности.

Из этого следует, что в разложении на вершину треугольника, хорда окружности будет делиться на две равные части диаметром окружности.

Таким образом, длина отрезка, соединяющего вершину треугольника с центром окружности, равна половине \(a\) и обозначим его как \(h\).

Так как восьмиугольник имеет восемь вершин, и они расположены на окружности равномерно, то восьмиугольник можно разбить на восемь равных треугольников, каждый из которых будет прямоугольным со сторонами \(b\), \(R\) и \(h\).

Теперь у нас есть соотношение между сторонами этих треугольников:
\[b^2 = R^2 + h^2\]

Но мы знаем, что длина стороны треугольника равна \(a\), а значит, \(h\) равно \(\frac{a}{2}\).

Теперь мы можем подставить это значение в наше уравнение:
\[b^2 = R^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\]

Так как каждая из восьми сторон восьмиугольника равна \(b\), периметр восьмиугольника будет равен:
\[P_v = 8b\]

Таким образом, чтобы найти длину стороны правильного восьмиугольника, вписанного в окружность, нам необходимо найти значение \(b\). Для этого подставим выражение \(a = \frac{3P_t}{8}\) в уравнение и выразим \(b\):
\[b = \sqrt{R^2 + \left(\frac{\frac{3P_t}{8}}{2}\right)^2}\]

Таким образом, длина стороны правильного восьмиугольника вписанного в окружность равна \(\sqrt{R^2 + \left(\frac{\frac{3P_t}{8}}{2}\right)^2}\).