Какова длина стороны правильного шестиугольника, в который вписана окружность радиусом 2 см? Какова площадь этого

Чтобы решить эту задачу, давайте пошагово разберемся с каждым шагом.

Шаг 1: Рассмотрим окружность, вписанную в правильный шестиугольник. Основной факт, о котором нужно знать, состоит в том, что радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, перпендикулярен стороне многоугольника в точке касания.

Шаг 2: Теперь, когда мы имеем радиус окружности \(r = 2 \, \text{см}\), нужно найти длину стороны правильного шестиугольника. Для этого мы можем использовать свойство равных сторон правильного многоугольника.

Шаг 3: Правильный шестиугольник состоит из шести равных треугольников. Давайте вспомним, что сумма углов треугольника всегда равна \(180^\circ\). В правильном треугольнике каждый угол равняется \(60^\circ\), так как у шестиугольника \(360^\circ\div6 = 60^\circ\).

Шаг 4: Рассмотрим один из этих равных треугольников. Если мы нарисуем высоту, то разобьем треугольник на два равнобедренных треугольника.

Шаг 5: Зная угол одного из этих равнобедренных треугольников, равный \(30^\circ\), и зная длину основания, которое равно радиусу окружности \(2 \, \text{см}\), мы можем найти длину высоты этого треугольника.

Шаг 6: С помощью теоремы Пифагора найдем длину высоты треугольника. Так как у высоты есть прямой угол,то применяя теорему Пифагора можем найти длину высоты, назовем ее \(h\), тогда верно следующее соотношение: \(h^2 = r^2 - (\text{основание}/2)^2\) или \(h^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3\). Отсюда получаем, что \(h = \sqrt{3} \, \text{см}\).

Шаг 7: Теперь мы можем найти длину стороны шестиугольника, которая равнадвум высотам одного и того же треугольника. Имеем: \(s = 2h = 2\sqrt{3} \, \text{см}\).

Шаг 8: Наконец, чтобы найти площадь шестиугольника, мы можем использовать следующую формулу: \(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2\). Подставляя значения, получаем: \(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}(2\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 18\sqrt{3} \, \text{см}^2\).

Итак, длина стороны правильного шестиугольника, в который вписана окружность радиусом \(2 \, \text{см}\), равна \(2\sqrt{3} \, \text{см}\), а его площадь равна \(18\sqrt{3} \, \text{см}^2\).