Какова длина стороны правильного четырехугольника, который вписан в окружность, если периметр правильного

Первым шагом мы можем выразить периметр шестиугольника через длину его стороны. Давайте представим, что сторона шестиугольника равна $a$. Так как шестиугольник правильный, то у него все стороны равны.

Теперь мы можем найти периметр шестиугольника. Периметр шестиугольника составляет 6 раз длину одной его стороны:

$$6a=18\sqrt{3}$$

Для того, чтобы найти длину стороны четырехугольника, нам необходимо знать, как они связаны. Впишем четырехугольник в шестиугольник:

_
/ \
| |
\ /
_

Отметим центр окружности и проведем радиусы, соединяющие центры окружностей и вершины шестиугольника. Также проведем радиусы, соединяющие центры окружностей и вершины четырехугольника. Таким образом, получим равнобедренные треугольники. Обозначим за $s$ длину стороны четырехугольника.

Из свойств равнобедренного треугольника, мы знаем, что проведенный из вершины угол в равнобедренном треугольнике делит базу на две равные части. Получаем следующее уравнение:

$$\frac{a}{2}+\frac{s}{2}=a$$

Раскроем скобки и произведем необходимые преобразования:

$$\frac{a+s}{2}=a$$

Умножим обе части на 2:

$$a+s=2a$$

Теперь, выразим $s$ через $a$:

$$s=2a-a=a$$

Таким образом, длина стороны четырехугольника равна длине стороны шестиугольника. Возвращаясь к изначальному уравнению, мы знаем, что сторона шестиугольника равна $a=3\sqrt{3}$, поэтому длина стороны четырехугольника также будет равна $s=3\sqrt{3}$.

Таким образом, длина стороны правильного четырехугольника, который вписан в окружность, составляет $3\sqrt{3}$.