Какова длина стороны правильного четырехугольника, который вписан в окружность, если периметр правильного

Первым шагом мы можем выразить периметр шестиугольника через длину его стороны. Давайте представим, что сторона шестиугольника равна \(a\). Так как шестиугольник правильный, то у него все стороны равны.

Теперь мы можем найти периметр шестиугольника. Периметр шестиугольника составляет 6 раз длину одной его стороны:

\[6a = 18\sqrt{3}\]

Для того, чтобы найти длину стороны четырехугольника, нам необходимо знать, как они связаны. Впишем четырехугольник в шестиугольник:

_
/ \
| |
\ /
_

Отметим центр окружности и проведем радиусы, соединяющие центры окружностей и вершины шестиугольника. Также проведем радиусы, соединяющие центры окружностей и вершины четырехугольника. Таким образом, получим равнобедренные треугольники. Обозначим за \(s\) длину стороны четырехугольника.

Из свойств равнобедренного треугольника, мы знаем, что проведенный из вершины угол в равнобедренном треугольнике делит базу на две равные части. Получаем следующее уравнение:

\[\frac{a}{2} + \frac{s}{2} = a\]

Раскроем скобки и произведем необходимые преобразования:

\[\frac{a + s}{2} = a\]

Умножим обе части на 2:

\[a + s = 2a\]

Теперь, выразим \(s\) через \(a\):

\[s = 2a - a = a\]

Таким образом, длина стороны четырехугольника равна длине стороны шестиугольника. Возвращаясь к изначальному уравнению, мы знаем, что сторона шестиугольника равна \(a = 3\sqrt{3}\), поэтому длина стороны четырехугольника также будет равна \(s = 3\sqrt{3}\).

Таким образом, длина стороны правильного четырехугольника, который вписан в окружность, составляет \(3\sqrt{3}\).