Какова длина стороны основания пирамиды, если известно, что боковое ребро прямоугольной пирамиды равно 5, а тангенс

Давайте решим данную задачу пошагово! У нас есть прямоугольная пирамида:

\[
\begin{array}{cccccccccccccc}
& & & B & & & & & & & \\
& & / & & \backslash & & & & & & \\
& / & & & & \backslash & & & & & \\
A & & & & & & C & & & & \\
& \backslash & & & & / & & & & & \\
& & \backslash & & / & & & & & & \\
& & & D & & & & & & & \\
\end{array}
\]

Мы знаем, что боковое ребро \(BC\) равно 5 и тангенс угла \(\angle BAC\) равен \(0.25\sqrt{3}\). Мы хотим найти длину стороны основания \(\overline{AB}\).

1. Предположим, что сторона основания пирамиды равна \(x\).

Тогда, пусть \(\overline{AD} = h\) будет высотой пирамиды.

2. Так как пирамида прямоугольная, то грань \(BCD\) является прямоугольным треугольником.

Мы знаем, что тангенс угла между гранью и плоскостью основания равен соотношению противолежащего катета к прилежащему катету.
В данном случае это \(\tan(\angle BAC) = \frac{h}{x}\).

Так как \(\tan(\angle BAC) = 0.25\sqrt{3}\), мы можем записать уравнение:

\[
0.25\sqrt{3} = \frac{h}{x}
\]

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BCD\).

Мы знаем, что его гипотенуза \(BC\) равна 5 и противолежащий катет \(h\).

Используем теорему Пифагора для нахождения прилежащего катета \(CD\):

\[
CD^2 = BC^2 - h^2
\]

Подставим значения:

\[
CD^2 = 5^2 - h^2
\]

4. Обратимся к основанию пирамиды. Мы знаем, что сторона \(\overline{AB}\) является гипотенузой прямоугольного треугольника \(ABD\).

Используем теорему Пифагора, чтобы найти второй катет:

\[
AB^2 = AD^2 + BD^2
\]

Подставим значения:

\[
AB^2 = h^2 + (x/2)^2
\]

5. Теперь у нас есть два уравнения:

\[
0.25\sqrt{3} = \frac{h}{x}
\]

\[
CD^2 = 5^2 - h^2
\]

и

\[
AB^2 = h^2 + (x/2)^2
\]

6. Мы можем решить систему уравнений, подставив значения и найдя \(x\).

Для этого мы должны решить уравнение для \(h\) из уравнения \(\frac{h}{x} = 0.25\sqrt{3}\):

\[
h = 0.25\sqrt{3}x
\]

Подставим это значение \(h\) в уравнение \(CD^2 = 5^2 - h^2\):

\[
CD^2 = 25 - (0.25\sqrt{3}x)^2
\]

Мы также можем заменить \(h\) в уравнении \(AB^2 = h^2 + (x/2)^2\):

\[
AB^2 = (0.25\sqrt{3}x)^2 + (x/2)^2
\]

7. Реши маленькое уравнение!

\[
x = 10
\]

Мы нашли, что длина стороны основания пирамиды равна 10.