Какова длина стороны BC в треугольнике ABC, если угол C прямой и AB = 108, а cosB = 8/9?

Чтобы определить длину стороны BC в треугольнике ABC, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит, что для любого треугольника с сторонами a, b и c и углом между сторонами c:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \angle C\]

В данной задаче у нас есть сторона AB, для которой известна длина (AB = 108), и известно значение косинуса угла B (cosB = 8/9). Наша задача - найти длину стороны BC.

Подставим известные величины в уравнение теоремы косинусов:

\[BC^2 = 108^2 + b^2 - 2 \cdot 108 \cdot b \cdot \frac{8}{9}\]

У нас есть уравнение с одной неизвестной - длиной стороны BC, обозначим её через b. Решим это уравнение для нахождения b:

\[BC^2 = 11664 + b^2 - \frac{16}{9} \cdot 108b\]

Сократим коэффициенты:

\[BC^2 = 11664 + b^2 - \frac{192}{9}b\]

Упростим выражение:

\[BC^2 = 11664 + b^2 - 21.3333b\]

Теперь мы можем найти значение BC. Для этого нам нужно решить уравнение:

\[b^2 - 21.3333b + 11664 - BC^2 = 0\]

Решить это уравнение явно может быть сложно, поэтому воспользуемся методом квадратного трёхчлена. Возможно, что он выдаст нам нецелый ответ, но давайте каждый шаг проделаем вручную для ясности.

\[\text{Дискриминант: } D = (-21.3333)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (11664 - BC^2)\]

\[\text{Найдём корни уравнения: } b_{1,2} = \frac{-(-21.3333) \pm \sqrt{D}}{2}\]

Где b1 и b2 - корни уравнения, т.е. возможные значения BC.

Теперь нам нужно найти конкретное значение BC. Для этого вам нужно ввести в уравнение изначальные данные - значения AB и cosB: AB = 108 и cosB = 8/9. Давайте продолжим решение в следующем сообщении.