Какова длина стороны AC в треугольнике ABC, если угол B равен 60°, а длины сторон AB и BC равны 6 см и

Для решения задачи, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Дано, что угол B треугольника ABC равен 60°, а длины сторон AB и BC равны 6 см и 4 см соответственно. Нам нужно найти длину стороны AC и радиус окружности, описанной около треугольника.

По теореме косинусов, мы знаем, что квадрат длины стороны AC равен сумме квадратов длин сторон AB и BC, минус удвоенное произведение длин сторон AB и BC, умноженное на косинус угла B.

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(B)\]

Подставив известные значения:

\[AC^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos(60°)\]

Вычисляем значение косинуса 60°:

\[\cos(60°) = \frac{1}{2}\]

Подставим это значение:

\[AC^2 = 36 + 16 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 36 + 16 - 24 = 28\]

Теперь найдем радиус окружности, описанной около треугольника. Радиус окружности можно найти с помощью формулы:

\[R = \frac{AC}{2 \cdot \sin(B)}\]

Значение синуса угла B равно:

\[\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Подставим все известные значения:

\[R = \frac{AC}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\sqrt{3}}\]

Нам также известно, что площадь треугольника можно выразить через радиус описанной около него окружности. Площадь треугольника можно найти с помощью формулы:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(B)\]

Подставим известные значения:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\]

Также, площадь треугольника можно выразить через радиус окружности и длины сторон треугольника. Поэтому мы можем записать:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(A)\]

Угол A равен:

\[A = 180° - B = 180° - 60° = 120°\]

Тогда:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 4 \cdot \sin(120°) = 2 \cdot AC \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot AC\]

Теперь, имея два выражения для площади треугольника, мы можем приравнять их:

\[6\sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot AC\]

Делим обе части уравнения на \(\sqrt{3}\):

\[2 \cdot AC = 6\]

Разделим обе части уравнения на 2:

\[AC = 3\]

Таким образом, длина стороны AC треугольника ABC равна 3 см.

Чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника, мы можем подставить найденное значение длины стороны AC в уравнение:

\[R = \frac{AC}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\]

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен \(\sqrt{3}\) см.