Какова длина стороны AB треугольника ABC, если угол A равен 75 градусам, угол B равен 60 градусам и AC равно 108√6

Чтобы найти длину стороны AB треугольника ABC, мы можем использовать закон синусов, который гласит:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

где a, b и c - это стороны треугольника, а A, B и C - соответствующие им углы.

Для данного треугольника у нас известны углы A и B, а также сторона AC. Угол C можно найти, используя свойство суммы углов треугольника:

C = 180° - A - B

Сначала найдем угол C:

C = 180° - 75° - 60°
C = 45°

Теперь мы можем применить закон синусов, чтобы найти длину стороны AB:

\[\frac{AB}{\sin A} = \frac{AC}{\sin C}\]

Заменяя известные значения:

\[\frac{AB}{\sin 75°} = \frac{108\sqrt{6}}{\sin 45°}\]

Мы знаем, что \(\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}\) и \(\sin 75° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\), заменив значения:

\[\frac{AB}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{108\sqrt{6}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\]

Далее, упростив выражение:

AB = \(\frac{108\sqrt{6}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} \cdot \frac{\frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}}{1}\)
AB = \(108\sqrt{6} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\)

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{6} - \sqrt{2}\) для упрощения:

AB = \(108\sqrt{6} \cdot \frac{4}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2}\)
AB = \(108\sqrt{6} \cdot \frac{4}{6 - 2}\)
AB = \(108\sqrt{6} \cdot \frac{4}{4}\)

Таким образом, получаем:

AB = 108√6

Таким образом, длина стороны AB треугольника ABC равна 108√6.